高频易错题目01

前言

有意识的整理总结高中数学中的易错变形和题目，有助于我们避开这些陷阱，减少失误。

集合与逻辑

已知集合\(A=\{1，3，\sqrt{m}\}\)，\(B=\{1，m\}\)，\(A\cup B=A\)，求\(m\)的值。

错解：由\(A\cup B=A\)，可得\(B\subseteq A\)，则\(m=3\)或\(m=\sqrt{m}\)，解得\(m=3\)或\(m=0\)或\(m=1\)。

分析：上述解方程的过程没有问题，但是本题目中\(m\)既是方程的未知数，同时是集合的元素，则其必然要受互异性的限制，

故我们接下来应该将\(m\)的值，逐一代入集合验证，可知\(m=1\)不符题意，故\(m=3\)或\(m=0\)。

设集合\(A=\{0，-4\}\)，\(B=\{x\mid x^2+2(a+1)x+a^2-1=0，x\in R\}\)，若\(A\cap B=B\)，则实数\(a\)的取值范围是_________。

提示：由\(A\cap B=B\)，得到\(B\subseteq A\)；分类讨论如下：

当\(B=\varnothing\)，\(\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0\)，解得\(a<-1\)；

当\(B\)为单元素集时，即\(B=\{0\}\)或\(B=\{-4\}\)，详述如下，

当\(B=\{0\}\)时，将\(x=0\)代入方程得到\(a^2-1=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=-1\)，

接下来验证如下，当\(a=1\)时，\(B=\{0，-4\}\)，不符前提\(B=\{0\}\)，故舍去；再验证\(a=-1\)时，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{0\}\)；

当\(B=\{-4\}\)时，将\(x=-4\)代入方程得到\(a^2-8a+7=0\)，解得\(a=-1\)或者\(a=-7\)，

接下来验证如下，当\(a=-7\)时，\(B=\{4，12\}\)，不符前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；再验证\(a=-1\)时，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；

即\(B=\{0\}\)时，\(a=-1\)符合题意；

当\(B\)为双元素集时，即\(B=\{0，-4\}\)时，由根与系数关系得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\\{x_1x_2=a^2-1=0③}\end{array}\right.\)

最快的解法是口算②式，得到\(a=1\)，代入③式口算验证成立，再代入①式口算验证成立，故上述混合组的结果为\(a=1\).

综上所述，得到参数的取值范围是\(a\in(-\infty，-1]\cup \{1\}\).

易错：不分类讨论或者不会分类讨论出错；

若集合\(A=\{x\mid (k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且仅有两个子集 ，则实数\(k\)的取值为　【】

$A.2或-1$ $B.-2或-1$ $C.-2$ $D.\pm 2或-1$

分析：由题目可知，集合\(A\)有且仅有两个子集，说明集合\(A\)应该为单元素集合，从而说明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)，可能有一次方程和二次方程两种情形。

当\(k=-2\)时，原方程变形为一次方程\(-4x+1=0\)，仅有一个解，适合题意；

当\(k\neq -2\)时，原方程要仅有一个解，则必须\(\Delta =0\)，即\((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\)，解得\(k=2\)或\(k=-1\)，满足题意，

综上所述，实数\(k\)的取值为\(\pm 2或-1\)，故选\(D\)。

易错：不分类讨论或者不会分类讨论出错；

函数与导数

(2017郑州模拟)已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a\)在\(x=1\)处取得极大值\(10\)，则\(\cfrac{a}{b}\)的值为____________.

分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，

得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\1+a+b-a^2-7a=10\end{cases}\)，

解得\(\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-6\\b=9\end{cases}\)，

当\(a=-2，b=1\)时，\(f'(x)=(3x-1)(x-1)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，但是在\(x=1\)处取到极小值，不符舍去；

当\(a=-6，b=9\)时，\(f'(x)=3(x-1)(x-3)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，且在\(x=1\)处能取到极大值。

故\(\cfrac{a}{b}=-\cfrac{2}{3}\)。

反思总结：由方程组解出来的根\(x=x_0\)，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点\(x_0\)处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。

函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，求\(a，b\)的值。

分析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，由\(\begin{cases}f'(1)=0\\f(1)=10\end{cases}\)，

得到\(\begin{cases}3+2a+b=0\\a^2+a+b+1=10\end{cases}\)，

解得\(\begin{cases}a=4\\b=-11\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=-3\\b=3\end{cases}\)，

注意到此需要检验，当\(a=-3，b=3\)时，\(f'(x)=3(x-1)^2\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的不变号零点，故在\(x=1\)处不能取到极值。

当\(a=4，b=-11\)时，\(f'(x)=(3x+11)(x-1)\)，

此时\(x=1\)是导函数\(f'(x)\)的变号零点，故在\(x=1\)处能取到极值。

综上所述，\(a=4，b=-11\)。

已知函数\(f(x)=\cfrac{x-a}{2x-1}\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。

法1：导数法，由于函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

故\(f'(x)=\cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}\leq 0\)在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上恒成立，

即\(2a-1\leq 0\)恒成立，得到\(a\leq \cfrac{1}{2}\)，

但是当\(a=\cfrac{1}{2}\)时

代入原函数得到\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，为常函数，

则要舍去，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

法2：图像法，将函数变形为\(f(x)=\cfrac{-a+\cfrac{1}{2}}{2x-1}+\cfrac{1}{2}\)，

即函数的对称中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{2})\)，

如果要函数在区间\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，

只需要\(-a+\cfrac{1}{2}>0\)即可，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

函数\(f(x)=\cfrac{x-5}{x-a-2}\)在\((-1，+\infty)\)上单调递增，则\(a\)的取值范围是【】

$A.\{3\}$ $B.(-\infty，+3)$ $C.(-\infty，-3]$ $D.[-3，+\infty)$

法1：图像法，将函数等价转化为\(f(x)=\cfrac{x-a-2+a-3}{x-a-2}=1+\cfrac{a-3}{x-a-2}\)，

其对称中心是\((a+2，1)\)，若需要函数\(f(x)\)在\((-1，+\infty)\)上单调递增，需要满足\(\begin{cases}a-3<0\\a+2\leq -1\end{cases}\)，

解得\(a\leq -3\)，选C.

法2：导数法，求导得到\(f'(x)=\cfrac{3-a}{(x-a-2)^2}\)，

由于函数在\((-1，+\infty)\)上单调递增，

故\(f'(x)=\cfrac{3-a}{(x-a-2)^2}\ge 0\)在\((-1，+\infty)\)上恒成立，

故\(3-a\ge 0\)，此时的解是错的，

原因是我们还不能保证函数在\((-1，+\infty)\)上连续，故还需要\(a+2\leq -1\)，

故二者求交解得\(a\leq -3\)。

不等式性质

【利用不等式性质求范围】已知函数\(f(x)=ax^2+bx，1\leq f(-1)\leq 2，2\leq f(1)\leq 4\)， 求\(f(-2)\)的取值范围。

法1:(错解)，由\(\begin{cases}1\leq f(-1)\leq 2\\2\leq f(1)\leq 4\end{cases}\)得到，

\(\begin{cases}1\leq a-b \leq 2&①\\2\leq a+b \leq 4&②\end{cases}\)，

利用不等式的性质，将①②式相加减，

得到\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3，0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，

所以\(6 \leq 4a \leq 12，-3\leq -2b \leq 0\)，所以\(3 \leq 4a-2b \leq 12\)，

故$ 3 \leq f(-2)=4a-2b \leq 12$

【错因分析】以上的解法打破了\(a，b\)取值的内在联系，它们的范围会发生变化，

如由\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)，\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，

当我们取\(a=\cfrac{3}{2}\)，\(b=\cfrac{3}{2}\)时，

很明显\(a-b=0，a-b\notin [1，2]\)，

故只要解法中没有把\(a-b\)，\(a+b\)当成一个整体对待的都是有问题的解法。

【待定系数法】令\(f(-2)=mf(-1)+nf(1)\)，

则由\(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b\)，又由已知可知\(f(-2)=4a-2b\)

所以由对应系数相等得到方程\(\begin{cases} m+n=4 \\ m-n=2 \end{cases}\)

解得\(m=3，n=1\)

又由于\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4，\)

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)。

【方程组法】由已知有\(\begin{cases} f(-1)=a-b \\ f(\,\,\,\,1)=a+b \end{cases}\)，

解得\(\begin{cases} a=\cfrac{1}{2}\cdot [f(-1)+f(1)] \\ b=\cfrac{1}{2}\cdot [f(1)- f(-1)] \end{cases}\)

所以\(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)\)，

又由于\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)，

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，

即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)

【用线性规划分析错误原因】

解法1中得到单个的\(a、b\)的取值范围是\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)，

由此作图得到的是矩形EFGH，而由条件\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)得到的是矩形ABCD，

很显然两个矩形不一样，那么那个图形是对的？我们可以看到在\(\Delta ADH\)内部的点，

由线性规划知识可知并不满足条件\(1\leq a-b\leq 2\)，\(2\leq a+b\leq 4\)，

因此得到单个的\(a、b\)的取值范围是\(\cfrac{3}{2}\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac{3}{2}\)是错的，

显然扩大了单个\(a、b\)的取值范围。

正解分析：由线性规划可知，

当直线\(l_0：4x-2y=0\)经过点\(A(\cfrac{3}{2}，\cfrac{1}{2})\)时，

\(z=4x-2y\)有最小值，且\(z_{min}=4\times\cfrac{3}{2}-2\times\cfrac{1}{2}=5\)；

当直线\(l_0：4x-2y=0\)经过点\(C(3，1)\)时，

\(z=4x-2y\)有最大值，且\(z_{max}=4\times3-2\times1=10\)；

【易错知识点】

1、函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)的单调递减区间是\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，这是错的。

应该表述为单调递减区间是\((-\infty，0)\)和\((0，+\infty)\)；或者表述为单调递减区间是\((-\infty，0)\)，\((0，+\infty)\)。

错误原因：如我们写成单调减区间为\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)，

当我们用定义验证时，当自变量\(x_1， x_2\)同时取在区间\((-\infty，0)\)或区间\((0，+\infty)\)时，

都满足单调递减的定义，但是若\(x_1\in (-\infty，0)\)且$x_2\in(0，+\infty) $时，验证是错误的。

2、函数\(f(x)\ge g(x)\)恒成立，等价于\(f(x)_{min}\ge g(x)_{max}\)，这时错误的，

其典型的反例就是\(f(x)=e^x\ge x+1=g(x)\)；很显然，函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)两个既没有最大值，也没有最小值。

3、不可能事件\(A\)的概率\(P(A)=0\)，概率为0的事件不一定是不可能事件。

比如，从区间\([-5，5]\)内任取一个数，求取到1的概率。

分析：本题目的所有结果有无限个，又有等可能性，故是几何概型。其概率是\(P(A)=\cfrac{0}{10}=0\)

所以说，比如上例中的事件的概率为0，但却是随机事件，不是不可能事件。

4、有关充要条件的易错题目，充要条件

5、函数\(y＝f(x)\)的图象关于原点对称与函数\(y＝f(x)\)与\(y＝-f(-x)\)的图象关于原点对称一致。这个理解错误。

分析：函数\(y＝f(x)\)的图象关于原点对称，说明函数\(f(x)\)是自身关于原点对称，只是涉及一个图像，即函数\(f(x)\)为中心对称图形；

而函数\(y＝f(x)\)与\(y＝-f(-x)\)的图象关于原点对称，是涉及两个函数图像，其中的每一个图像都不能称为中心对称图形，只能称为两个图像成中心对称；

故其二者的本质是不一致的。

【和事件的概率加法公式的使用条件】【2018凤翔中学高三文科课时作业】

抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字\(1，2，3，4，5，6\))，事件A表示“朝上一面的数字是奇数”，事件B表示“朝上一面的数字不超过2”，则\(P(A+B)\)=__________.

分析：由题目容易知道，\(P(A)=\cfrac{3}{6}\)，\(P(B)=\cfrac{2}{6}\)，故\(P(A+B)=P(A)+P(B)=\cfrac{5}{6}\)。

其实这个解法是错误的。原因是事件\(A，B\)不是互斥的，因为如果点数是\(1\)，则事件\(A，B\)都发生了，

故彼此不互斥，此时不能使用\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)公式计算。

那么，该如何计算呢？

此时我们使用概率的一般加法法则：\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，

在本题中，\(P(A)=\cfrac{3}{6}\)，\(P(B)=\cfrac{2}{6}\)，\(P(AB)=\cfrac{1}{6}\)，

故\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\cfrac{3}{6}+\cfrac{2}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}\)。

解后反思：见到题目中的\(P(A+B)\)，不要一味的只想到\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，应该判断事件的关系在先，就像研究函数一样，定义域优先。

如果满足互斥，则使用公式\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)来计算；如果不满足互斥，则使用公式\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)来计算。

【求等比中项】【2018凤翔中学高三文科课时作业】

1、已知等比数列\(\{a_n\}\)中， \(a_3=4\)， \(a_9=1\)， 求\(a_6=\)？

分析：\(a_6^2=a_3\cdot a_9=4\)，故\(a_6=\pm 2\)。原因是\(a_6=a_3\cdot q^3\)，\(q^3\)可取正负两种情形，故\(a_6=\pm 2\)。

对照1-1、已知等比数列\(\{a_n\}\)中， \(a_3=4\)， \(a_{11}=1\)， 则\(a_7=\)？

分析：\(a_7^2=a_3\cdot a_{11}=4\)，故\(a_7=\pm 2\)。又由于\(a_7=a_3\cdot q^4\)，\(q^4\)只能取正值一种情形，故\(a_7=2\)。

【坐标系与参数方程中求参数的值】【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】

第22题(2)，容易忽视\(\Delta >0\)的隐含条件而出错。

【易错变形】【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】

\((-4)^{\frac{2}{4}}\neq (-4)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-4}\)，此处\(\cfrac{2}{4}\neq \cfrac{1}{2}\)，当底数为负数时，分数指数幂不能随意约分。

\(log_2x^2\neq 2log_2x\)，应该是\(log_2x^2= 2log_2|x|\)，注意条件\(x>0\)

由\(lga^2+2lgb=0\)，得到\(a+b\geqslant 2\)，这是假命题；

分析：由于\(lga^2+2lgb=0\)，得到\(a\neq0\)，\(b>0\)，且\(lga^2+lgb^2=0\)，即\((ab)^2=1\)，

即 \(ab=1\) 或者 \(ab=-1\) ，故不能得到 \(a+b\geqslant 2\)；

【易错变形】【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，由题目可知必有\(a>0\)，

故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，再考虑外函数必须是增函数，

故\(a>1\)，结合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。

【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】【命题的真假判断】

①函数的最大值一定是函数的极大值。错，假命题。

分析：最大值可能在极大值处取到，也可能在端点处取到，而函数的极值不可能出现在端点处，一个点能否成为极值点，需要这一点的函数值和其小邻域内的其他函数值作比较，端点值不具备这一点，故端点值不能成为极值。

②函数的极大值可能会小于这个函数的极小值，正确，真命题。

分析：例如对勾函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)，函数的极小值为\(f(1)=2\)，而函数的极大值为\(f(-1)=-2\)。

③函数在某一区间上的极小值就是函数在这一区间上的最小值。错，假命题。

分析：最小值可能在极小值处取到，也可能在端点处取到，端点处的值不能算是极值。

④函数在开区间内不存在最大值和最小值。错，假命题。

分析：正例，\(y=x\)，\(y=x^3\)，\(y=tanx\)在开区间\((-\infty，+\infty)\)上既没有最大值也没有最小值。

反例，\(y=x^2\)在开区间\((-\infty，+\infty)\)上有最小值，但没有最大值。

⑤"\(\lambda=0\)"是"\(\lambda \vec{a}=\vec{0}\)"的充分不必要条件。

分析：显然充分性成立，当\(\lambda \vec{a}=\vec{0}\)时，可能\(\lambda=0\)或者\(\vec{a}=\vec{0}\)，故必要性不成立，则命题是真命题；

⑥在\(\Delta ABC\)中，"\(AB^2+AC^2=BC^2\)"是"\(\Delta ABC\)为直角三角形"的充要条件。

分析：充分性成立，但是由直角三角形不一定能得出斜边一定为\(BC\)，故必要性不成立；故假命题；

⑦若\(a，b\in R\)，则\(a^2+b^2\neq 0\)是\(a，b\)全不为零的充要条件。

分析：由\(a^2+b^2\neq 0\)，可以得到\(a\neq 0\)或者\(b\neq 0\)，即\(a，b\)不全为零，故充分性不成立，但必要性成立；故假命题；

⑧若\(a，b\in R\)，则\(a^2+b^2\neq 0\)是\(a，b\)不全为零的充要条件。

分析：由上可知，充分性和必要性都成立，故真命题。

⑨不等式\(ax^2+bx+c\leq 0\)在\(R\)上恒成立的条件是\(a<0\)且\(\Delta \leq 0\)。

分析：由于给定不等式是仿二次不等式，故当\(a=b=0，c\leq 0\)时，不等式\(ax^2+bx+c\leq 0\)在\(R\)上也是恒成立的。故假命题。

⑩二次不等式\(ax^2+bx+c\leq 0\)在\(R\)上恒成立的条件是\(a<0\)且\(\Delta \leq 0\)。

分析：真命题。

【直线的平行和垂直】已知直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\)，直线\(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)，

则\(l_1\perp l_2\Longleftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0\)；注意其等价条件并不是\(k_1k_2=-1\)，因为其中不包括最特殊的垂直的情形(一条直线斜率为0,而另一条直线没有斜率)；

则\(l_1// l_2\Longleftrightarrow A_1B_2-A_2B_1=0\)；注意其等价条件并不是\(\cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{B_1}{B_2}\neq \cfrac{C_1}{C_2}\)；

例如，直线\((m+3)x+my-2=0\)和直线 \(mx-6y+5=0\)互相垂直，求\(m\)的值。

分析：由\((m+3)m-6m=0\)解得，\(m=0\)或\(m=3\)；

例如，直线\(ax+y=1\)和直线\(9x+ay=1\)互相平行，求\(m\)的值。

分析：由\(a^2-9=0\)解得，\(a=-3\)或\(a=3\)；

关于\(x\)的不等式\(\cfrac{ax-5}{x-a}<0\)的解集是\(M\)，若\(3\in M\)且\(5\notin M\)，求实数\(a\)的范围；

分析：\(3\in M\)对应于\(\cfrac{3a-5}{3-a}<0\)，

\(5\notin M\)对应与两种情形：不等式分母为零\(5-a=0\)和\(\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0\)，

故需要求解\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{5-a=0}\end{array}\right.①\)和

\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3a-5}{3-a}<0}\\{\cfrac{5a-5}{5-a}\ge 0}\end{array}\right.②\)

解①得到\(a=5\)，

解②得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{5}{3}<a<3}\\{1\leq a<5}\end{array}\right.\)，

即\(\cfrac{5}{3}<a<3\)

综上可知实数\(a\)的范围为\(\cfrac{5}{3}<a<3或a=5\)。

【缺少检验出错】

已知幂函数\(f(x)=x^{m^2-2m-3}(m\in N^*)\)的图像关于\(y\)轴对称，且在\((0，+\infty)\)上是减函数，则\(m\)的值是多少？

分析：由于幂函数\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上是减函数，则\(m^2-2m-3<0\)，

解得\(-1<m<3\)，又\(m\in N^*\)，所以\(m=1\)或\(m=2\)。

又由于图像关于\(y\)轴对称，所以\(m^2-2m-3<0\)为偶数，

当\(m=2\)时\(m^2-2m-3\)为奇数，舍去\(m=2\)，

故\(m=1\)。

【存在单调递增区间】

若函数\(f(x)=-\cfrac{1}{3}x^3+ x^2+2ax\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上存在单调递增区间，则实数\(a\)的取值范围是__________.

法1：由于函数\(f(x)\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上存在单调递增区间，

说明在此区间上，\(f'(x)> 0\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，

即\(f'(x)=-x^2+x+2a> 0\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，

即\(2a> x^2-x=(x-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{1}{4}=g(x)\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，

而函数\(g(x)_{min}=g(\cfrac{2}{3})=-\cfrac{2}{9}\)，

故\(2a> -\cfrac{2}{9}\)，即\(a> -\cfrac{1}{9}\)，

反思总结：本题目若转化为\(f'(x)\ge 0\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，则最后参数的值会多出\(a=-\cfrac{1}{9}\)，

若是\(f'(x)\ge 0\)，则当\(f'(\cfrac{2}{3})=0\)时，由于\(f'(x)=-(x-\cfrac{1}{2})^2+2a+\cfrac{1}{4}\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上单调递减，

则\(f'(x)\leq 0\)，故此时必然不存在单调递增区间，故不符合题意，所以务必要注意转化的等价性。

解后反思： 函数\(f(x)\)在区间\([m，n]\)上为增函数，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([m，n]\)上恒成立，且函数\(f'(x)\)不恒为零；函数\(f(x)\)在区间\([m，n]\)上存在单调递减区间，则\(f'(x)<0\)能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)能成立；函数\(f(x)\)在区间\([m，n]\)上存在单调递增区间，则\(f'(x)>0\)能成立，而不是\(f'(x)\ge 0\)能成立。

法2：由于函数\(f(x)\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上存在单调递增区间，

说明在此区间上，\(f'(x)> 0\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，

即\(f'(x)=-x^2+x+2a> 0\)在\([\cfrac{2}{3}，+\infty)\)上能成立，

\(f′(x)=-x^2+x+2a=-(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}+2a\)，

当\(x\in [\cfrac{2}{3}，+\infty)\) 时，\(f′(x)_{max}=f′(\cfrac{2}{3})=\cfrac{2}{9}+2a\)。

令\(\cfrac{2}{9}+2a>0\)，

解得\(a> -\cfrac{1}{9}\)，所以\(a\)的取值范围是\((-\cfrac{1}{9}，+\infty)\)。

【存在单调递增区间】【2016 福清市级校期末】已知函数\(f(x)=lnx+(x-a)^2(a\in R)\)在区间\([\cfrac{1}{2}，2]\)上存在单调递增区间，则实数\(a\)的取值范围是多少？

分析：函数\(f(x)=lnx+(x-a)^2(a\in R)\)在区间\([\cfrac{1}{2}，2]\)上存在单调递增区间，

则函数\(f(x)\)在区间\([\cfrac{1}{2}，2]\)上存在子区间使得\(f'(x)> 0\)能成立，

\(f'(x)=\cfrac{1}{x}+2x-2a=\cfrac{2x^2-2ax+1}{x}> 0\)；

令\(h(x)=2x^2-2ax+1\) ，

法1：接上，要使\(f'(x)> 0\)能成立，则有\(h(2)> 0\) 或\(h(\cfrac{1}{2})> 0\)，

解得\(a< \cfrac{9}{4}\)，故实数\(a\)的取值范围是\((-\infty，\cfrac{9}{4})\)。

法2：正难则反，要使\(f'(x)\leq 0\)恒成立，则在区间\([\cfrac{1}{2}，2]\)上，\(h(x)\leq 0\) ，

即\(\begin{cases}h(\cfrac{1}{2})\leq 0\\h(2)\leq 0\end{cases}\)，解得\(a\ge \cfrac{9}{4}\)，

故实数\(a\)的取值范围是\((-\infty，\cfrac{9}{4})\)。

• 函数\(f(x)\)在区间\([m，n]\)上为增函数，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([m，n]\)上恒成立，且函数\(f'(x)\)不恒为零。

• 函数\(f(x)\)在区间\([m，n]\)上存在单调递减区间，则\(f'(x)<0\)能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)能成立。

【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1\)，函数\(g(x)=f(x)+2x\)，且\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；

分析：\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\)，则\(g'(x)=x^2-ax+2\)，

由\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，得到，

\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，

分离参数得到，\(a<x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，

而\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号，

故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，-2\sqrt{2})\)。

注意：存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)<0\)能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)能成立。

若\(a=-2\sqrt{2}\)，由\(g'(x)=x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2\ge 0\)恒成立，则函数\(g(x)\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

【2019高三理科数学课时作业用题】

数列\(a_n=f(n)\)单调递增，但函数\(y=f(x)\)不一定单调递增，

但是若函数\(y=f(x)\)单调递增，则其对应的数列\(a_n=f(n)\)必然单调递增。

数列\(\{a_n\}\)单调递增的充要条件是\(a_{n+1}>a_n\)，而不是\(f'(x)\ge 0\)恒成立。题目见等差数列的例5

求解析式

若函数\(f(x)=\cfrac{x}{ax+b}(a\neq 0)\)，\(f(2)=1\)，又方程\(f(x)=x\)有唯一解，求\(f(x)\)的解析式。

法1：从数的角度分析，由\(f(2)=1\)，得到\(\cfrac{2}{2a+b}=1\)，即\(2a+b=2\)；

由\(f(x)=x\)，得到\(\cfrac{x}{ax+b}=x\)，变形得到\(x(\cfrac{1}{ax+b}-1)=0\)，

解此方程得到，\(x=0\)或\(x=\cfrac{1-b}{a}\)，又由于方程有唯一解，故\(\cfrac{1-b}{a}=0\)，

解得\(b=1\)，代入\(2a+b=2\)得到\(a=\cfrac{1}{2}\)，

再将\(x=0\)代入方程\(\cfrac{x}{ax+b}=x\)检验，发现此时要方程有意义，必须\(b\neq 0\)，

故上述的解法可能丢失了\(b=0\)的情形，当\(b=0\)时，代入\(2a+b=2\)，得到\(a=1\)，

代入验证也满足题意，故\(a=\cfrac{1}{2}\)且\(b=1\)或者\(a=1\)且\(b=0\)

综上所述，\(f(x)=\cfrac{2x}{x+2}\)或者\(f(x)=\cfrac{x}{1\cdot x+0}=1\)。

法2：从形的角度分析，图形解释如下。

已知数列\(\{lg(a_n+\cfrac{1}{2})\}\)为首项为\(lg2\)，公比为\(2\)的等比数列；

求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

分析：\(lg(a_n+\cfrac{1}{2})=lg2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot lg2\)

[说明：\(2^{n-1}\cdot lg2\neq lg2^n=n\cdot lg2\)，极易出错，对数运算的级别要高于乘法运算，故先计算对数，再计算乘法]

即\(lg(a_n+\frac{1}{2})=2^{n-1}\cdot lg2=lg2^{2^{n-1}}\)[极易出错]

则\(a_n+\frac{1}{2}=2^{2^{n-1}}\)，即\(a_n=2^{2^{n-1}}-\frac{1}{2}\).

向量的夹角

若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)为钝角，则应该是\(-1<\cos\theta<0\)，而不是我们所说的\(\cos\theta<0\)，错误原因\(\cos\theta<0\)中包含了\(\theta=\pi\)，此时是平角，而不是钝角；同理，若向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)为锐角，则应该是\(0<\cos\theta<1\)，而不是我们所说的\(\cos\theta>0\)，错误原因\(\cos\theta>0\)中包含了\(\theta=0\)，此时不是锐角；

同时注意，实际操作中，我们利用\(\cos\theta<0\)且\(\cos\theta\neq -1\)求解，要比求解\(-1<\cos\theta<0\)快捷的多，且不容易出错；

几何概型

如图在\(\Delta ABC\)中，\(\angle B=60^{\circ}\)，\(\angle C=45^{\circ}\)，高\(AD=\sqrt{3}\)，在\(\angle BAC\) 内作射线\(AM\)交\(BC\)于点\(M\)，则\(BM<1\)的概率是【】

分析：本题是角度型几何概型， \(P=\cfrac{30^{\circ}}{75^{\circ}}=\cfrac{2}{5}\)。

解后反思：本例容易错误的理解为长度性几何概型， 主要是射线\(AM\)扫过\(\angle BAC\)时，用角度度量是等可能的，用长度度量不是等可能的。用课件说明：如图动画所示，当射线\(AM\)扫过\(\angle BAC\)时，我们可以看到是等速的，也就是等可能的，但是当我们看点\(M\)在线段\(BC\)上的速度时，会发现快慢不一样，即不是等速的，也就是说不是等可能的，故此时不能用线段\(BC\)的长度来度量，而应该用角度度量。

【对照题】如上图在\(\Delta ABC\)中，\(\angle B=60^{\circ}\)，\(\angle C=45^{\circ}\)，高\(AD=\sqrt{3}\)，在\(BC\)上任取一点\(M\)，则\(BM<1\)的概率是__________。

分析：本题目是长度型的几何概型，\(P=\cfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)。

解后反思：等可能性不是我们说等可能就能保证等可能的。

在\(\angle BAC\) 内作射线\(AM\)交\(BC\)于点\(M\)，意味着角度型；在\(BC\)上任取一点\(M\)，意味着长度型；

如图，在一个棱长为 \(2\) 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是【】

$A.1-\cfrac{\pi}{4}$ $B.\cfrac{\pi}{12}$ $C.\cfrac{\pi}{4}$ $D.1-\cfrac{\pi}{12}$

分析：选\(A\)， 本题目应该是面积型几何概型，容易错误理解为体积型几何概型；那么如何理解呢，若是体积型几何概型，则鱼食投放到鱼缸里的每一个点处都应该是等可能的，从上往下垂直投放鱼食，鱼食落在圆锥的外面正方体的下底面的中心附近的概率为零，落在下底面的顶点处的概率不为零，即不是等可能事件，故不应该是体积型几何概型。

引申：若将圆锥替换为等底的圆柱，答案应该还是 \(A\) 。