思维训练素材整理

前言

一直在想，我们该如何启发学生的思维，受一篇帖子的启发，偶发感想，对高中数学中暂时能想到的素材做以整理，以飨读者。

由数到式

A+、解方程中的由数到式，单项式到多项式

下面的表达式我们肯定经常见到，但是不大会引起我们的共鸣。

\[1^2-3\times1+2=0 \]

\[2^2-3\times2+2=0 \]

那么你有没有想过，如果我们用一个未知数\(x\)同时替换上式中的\(1\)和\(2\)，
就得到了一个相同的式子，就是\(x^2-3x+2=0\)，这就是一元二次方程。

这样的一元二次方程一般都会求解，要么用公式法，要么分解为\((x-1)(x-2)=0\)，

利用实数的性质，得到\(x=1\)或\(x=2\)。

问题是你有没有思考过，这个替换过程中，已经体现了由数\(1(2)\)到未知数\(x\)的提升，思维已经完成了由算术到代数的质的飞跃，也就是说，已经开始用字母代替数字思维了。也许这是个了不起的变化。

为什么这么说呢？我们可以这样想，求解这个方程，\(x^4-3x^2+2=0\)，我们其实可以这样做，

令\(x^2=t\ge 0\)，则原方程就会转化为\(t^2-3t+2=0\)，可以先解出\(t=1\)或\(t=2\)，

然后再求解\(t=x^2=1\)或\(t=x^2=2\)，从而解得\(x=\pm 1\)或\(x=\pm \sqrt{2}\)。

其实，我们只是使用了代数变换，或者整体思想，就解决了我们看起来很困难的问题。这是一个了不起的变化。

一旦我们的思维被打通，那么我们能解决的问题，就绝不止这些了。

比如求解这样的方程

\[(e^x)^2-3e^x+2=0 \]

\[(log_2x)^2-3log_2x+2=0 \]

\[(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+2=0 \]

\[(sin\theta)^2-3sin\theta+2=0 \]

\[(cos\theta)^2-3cos\theta+2=0 \]

只是分别做了这样的整体代换\(t=e^x\)，\(t=log_2x\)，\(t=e^x\)，\(t=\sqrt[3]{x+1}\)，\(t=sin\theta\)，\(t=cos\theta\)而已。

甚或我们还可以完成有单项式到多项式的替换，这样我们的思维层次就更高一些了，
比如求解$$(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0$$ $$(sin\theta-1)^2-3(sin\theta-1)+2=0$$
也无非就是让模型\(t^2-3t+2=0\)中的未知数变得更复杂，\(t=log_2x+1\)而已，

看到这里，你能仿照着编写一个求方程的题目吗？

这样我们不就有了些许的学习成就感了吗？

B、解不等式中的数到式，单项式到多项式

解这样的不等式\(x^2-3x+2<0\)，解集是\(\{x\mid 1<x<2\}\)，高三的学生基本是手到擒来，

但是你有没有想过，这样的\(x\)或许还可以是式子，比如\(|x|^2-3|x|+2<0\)，

那么比照上面的解法，只是用\(|x|\)替换了\(x\)，我们肯定能得到\(1<|x|<2\)，

然后问题转化为解绝对值不等式，\(1<|x|<2\)，得到解集为\(1<x<2\)或\(-2<x<-1\)；

由\(|x|<1\)得到\(-1<x<1\)，那么由\(|2|x|-1|<1\)，能得到什么？\(-1<2|x|-1<1\)，即\(0<2|x|<2\)，即\(0<|x|<1\)，解得\(-1<x<0\)或\(0<x<1\)；

那么下面的不等式你会解吗？

\(e^{2x}-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)

\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)

\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)

\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)

再比如，当我们会解三角不等式 \(2sinx>1\)，解集为\(\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

那么，\(2sin(3x+\cfrac{\pi}{4})>1\)，理解了上述的表达，

你就会写出此不等式的解集为\(\{3x+\cfrac{\pi}{4}\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<3x+\cfrac{\pi}{4}<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

再整理为\(\{x\mid \cfrac{2k\pi}{3}-\cfrac{\pi}{36}<x< \cfrac{2k\pi}{3}+\cfrac{7\pi}{36}\}\)；

C、算法中的思维训练

5、已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程组法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齐次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可设\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

则\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

8、三角函数中的齐次式

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齐次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)为常数)；

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小结：实现了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的转化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

C、从算术到代数的演变

理解数学的本质提高学生数学素养

D、注意数学知识的给出方式，

例说学习方法的改造和提升

函数的单调性

E、用四则运算构造新函数

构造函数的角度

F、从简原则，变量集中

变量集中思想的应用

五、向量的使用，新工具的作用的体会

六、参数方程中的参数，参数的几何意义，变量集中，

七、线性规划的引申，由数到形，如求\(\cfrac{y+2}{x-1}\)的取值范围。

八、进退结合，

九、求解\(lnx=1-x\)的体会，数行不通，换形。代数方程到超越方程。

十、由\(a_{n+1}=pa_n+q\)构造到\(a_{n+1}=3a_n+8n+6\)的构造等等；

十一、用临界位置打通数形联系

如\(x^2+y^2=1\)，我们知道这是个圆，即圆上的所有点构成的点集；

那么\(y=\sqrt{1-x^2}\)，应该是\(x\)轴上方的单位圆；

那么碰到\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)呢？

先用等号替换不等号得到\(y=0\)或者\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

其分别刻画的是\(x\)轴和\(x\)轴上方的单位圆；

故\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)刻画的应该是\(x\)轴上方的单位圆和单位圆的内部；

十二、归纳推理，类比推理

数列的前\(n\)项和\(S_n\)；数列的前\(n\)项积\(T_n\)；

比如从 \(A\)， \(B\)， \(C\)， \(D\)， \(E\)， \(F\)这六个点中任取两个点，学生基本都可以列举出来，但是如果题目变化为列举从六个点中任取四个点的所有情形，若仍然还是从正面思考，则此时难度就大多了。

解析：我们不妨想，每次从六个点中任取四个点，则每次剩余的点为两个，故从六个点中任取四个点的所有情形的个数和从六个点中任取两个点的所有情形的个数是一样的，即 \(C_6^4=C_6^2\)，如果要列举所有情形，则我们可以从剩余的角度先列举得到，比如\(AB\)，\(AC\)，等等，则对应的情形应该为 \(CDEF\)，\(BDEF\)，等等。

【2020 \(\cdot\) 江州质检】【启迪思维题目】正数\(a\)， \(b\)， \(c\) 满足 \(3^{a}=4^{b}=6^{c}\)， 则下列关系正确的是【\(\quad\)】

$A.\cfrac{1}{c}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}$ $B.\cfrac{2}{c}=\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}$ $C.\cfrac{1}{c}=\cfrac{2}{a}+\cfrac{2}{b}$ $D.\cfrac{2}{c}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$

解析： 因为 \(a\)， \(b\)， \(c\) 均为正数, 设 \(3^{a}=4^{b}=6^{c}=k\)，则 \(k>0\)，到此，实现了变量集中；

所以 \(a=\log_{3}k\)， \(b=\log_{4}k\)， \(c=\log_{6}k\)，

则 \(\cfrac{1}{a}=\cfrac{\lg3}{\lg k}\)， \(\cfrac{1}{b}=\cfrac{\lg4}{\lg k}\)， \(\cfrac{1}{c}=\cfrac{\lg6}{\lg k}\)，

由于 \(\cfrac{2}{c}\)\(=\)\(\cfrac{2\lg 6}{\lg k}\)\(=\)\(\cfrac{2\lg3}{\lg k}\)\(+\)\(\cfrac{\lg 4}{\lg k}\)\(=\)\(\cfrac{2}{a}\)\(+\)\(\cfrac{1}{b}\)，故选 \(B\) .