函数的对称性的常用结论 | 体验篇

前情概要

① 复习回顾，设点的坐标 \(P(a,b)\)，则其对称性如下：

点 \(P\) 关于直线 \(x=m\) 的对称点的坐标为 \(Q(2m-a,b)\)；

点 \(P\) 关于直线 \(y=n\) 的对称点的坐标为 \(R(a,2b-y)\)；

点 \(P\) 关于点 \((m,n)\) 的对称点的坐标为 \(S(2m-a,2n-b)\)；

② 涉及函数的轴对称和中心对称，请参阅 轴对称和中心对称

函数关于自身对称注意：下面的这些结论都只涉及到一个函数，而不是两个函数；

1.若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于原点 \((0,0)\) 对称，则 \(f(-x)\)\(=\)\(-f(x)\) 或 \(f(x)\)\(+\)\(f(-x)\)\(=\)\(0\)，反之亦成立；

2.若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于直线 \(x\)\(=\)\(a\) 对称(当 \(a\)\(=\)\(0\) 时即关于 \(y\) 轴对称)，则 \(f(a+x)\)\(=\)\(f(a-x)\) ，反之亦成立；

3.若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 满足 \(f(a+x)\)\(=\)\(f(b-x)\)，函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图像关于直线 \(x\)\(=\)\(\cfrac{a+b}{2}\) 对称，反之亦成立；

4.若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 图像是关于点 \(A(a,b)\) 对称，则充要条件是\(f(x)\)\(+\)\(f(2a-x)\)\(=\)\(2b\)抽象函数的对称性验证。

5.若函数 \(f(x)\) 是偶函数，其图像关于直线 \(x\)\(=\)\(a\) 对称，则\(T\)\(=\)\(2a\)(\(a>0\))；^[1]

6.若函数 \(f(x)\) 是奇函数，其图像关于直线 \(x=a\) 对称，则\(T\)\(=\)\(4a\)(\(a>0\))；^[2]

7.若函数 \(f(x)\) 的图像关于两条直线 \(x\)\(=\)\(a\) 和 \(x\)\(=\)\(b\) 对称，则\(T\)\(=\)\(2|a-b|\)；^[3]

8.若函数 \(f(x)\) 的图像关于点 \(M(a,0)\) 和点 \(N(b,0)\) 对称，则 \(T\)\(=\)\(2|a-b|\)；^[4]

9.若函数 \(f(x)\) 的图像关于直线 \(x=a\) 和点 \(M(b,0)\) 对称，则\(T\)\(=\)\(4|a-b|\)；^[5]

两个函数的对称特别提醒：以下结论同时涉及到两个不同的函数，其结论可以用相关点法进行严谨的证明；也可以利用两个函数的图像来粗略的验证。

1.[基础结论，要牢记]\(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于 x 轴对称}\) \(y=-f(x)\) ；图象验证

证明：以 \(y=f(x)\)[已知解析式] 到 \(y=-f(x)\)[待定解析式] 的证明为例，逆向的证明参照下面自行操作，下同；

用相关点法证明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x_0,y_0)\)，其关于 \(x\) 轴[即直线 \(y\)\(=\)\(0\)]的对称点为 \(P'(x_0,-y_0)\)，必然在函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图像上，即点 \(P'\) 的坐标满足其解析式，由此得到 \(-y_0\)\(=\)\(f(x_0)\)，即 \(y_0\)\(=\)\(-\)\(f(x_0)\)，又由于点 \(P\) 的任意性可知，所求解析式为 \(y\)\(=\)\(-\)\(f(x)\)，反之亦成立；故

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[x不变,-y\Rightarrow y]{关于x轴对称}$ $y$$=$$-f(x)$ $\xrightarrow[x不变,-y\Rightarrow y]{关于x轴对称}$ $y$$=$$f(x)$

操作方法：关于 \(x\) 轴对称，则 \(x\) 坐标不变，只用 \(-y\) 替换 \(y\) 坐标即可；比如，求 \(y=x^3-\ln x\) 关于 \(x\) 轴对称的函数解析式，我们用 \(-y\) 替换 \(y\) ，整理为 \(-y\)\(=\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\(x\)，即 \(y\)\(=\)\(-\)\(x^3\)\(+\)\(\ln\)\(x\)，故 \(y\)\(=\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\(x\) 关于 \(x\) 轴对称的函数解析式为 \(y\)\(=\)\(-\)\(x^3\)\(+\)\(\ln x\) .

作用：用这样的方法和思路，我们只需要理解和掌握一部分函数的解析式和图象，就能通过对称的方法，得到更多的函数的解析式和图象，有了解析式和图象，我们就能研究更多的函数的性质 .

2.[基础结论，要牢记]\(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于 y 轴对称}\) \(y=f(-x)\) ； 图象验证

证明：以 \(y=f(x)\)[已知解析式] 到 \(y=f(-x)\)[待定解析式] 的证明为例，逆向的证明参照下面自行操作；

用相关点法证明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x_0,y_0)\)，其关于 \(y\) 轴[即直线 \(x\)\(=\)\(0\)]的对称点为 \(P'(-x_0,y_0)\)，必然在函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图像上，即点 \(P'\) 的坐标满足其解析式，由此得到 \(y_0\)\(=\)\(f(-x_0)\)，又由于点 \(P\) 的任意性可知，可知所求解析式为 \(y\)\(=\)\(-\)\(f(x)\)，反之亦成立；故 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\stackrel{关于y轴对称}{\Longleftrightarrow}\) \(y\)\(=\)\(f(-x)\)；

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[y不变,-x\Rightarrow x]{关于y轴对称}$ $y$$=$$f(-x)$ $\xrightarrow[y不变,-x\Rightarrow x]{关于y轴对称}$ $y$$=$$f(x)$

操作方法：关于 \(y\) 轴对称，则 \(y\) 坐标不变，只用 \(-x\) 替换 \(x\) 坐标即可；比如，求 \(y=x^3-\ln x\) 关于 \(y\) 轴对称的函数解析式，我们用 \(-x\) 替换 \(x\) ，整理为 \(y\)\(=\)\((-x)^3\)\(-\)\(\ln\)\((-x)\)，即 \(y\)\(=\)\(-\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\((-x)\)，故 \(y\)\(=\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\(x\) 关于 \(x\) 轴对称的函数解析式为 \(y\)\(=\)\(-\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\((-x)\) .

3.[基础结论，要牢记]\(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于原点 (0,0) 对称}\) \(y=-f(-x)\). 图象验证

证明：用相关点法证明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x_0,y_0)\)，其关于对称中心 \((0,0)\) [即原点]的对称点为 \(P'(-x_0,-y_0)\)，必然在函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图像上，即点 \(P'\) 的坐标满足其解析式，由此得到 \(-y_0\)\(=\)\(f(-x_0)\)，即 \(y_0\)\(=\)\(-\)\(f(-x_0)\)，又由于点 \(P\) 的任意性可知，可知所求解析式为 \(y\)\(=\)\(-\)\(f(-x)\)，反之亦成立；故 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\stackrel{关于原点 (0,0) 对称}{\Longleftrightarrow}\) \(y\)\(=\)\(-\)\(f(-x)\)；

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[-x\Rightarrow x,-y\Rightarrow y]{关于 (0,0) 对称}$ $y$$=$$-f(-x)$ $\xrightarrow[-x\Rightarrow x,-y\Rightarrow y]{关于 (0,0) 对称}$ $y$$=$$f(x)$

操作方法：关于 \((0,0)\) 原点对称，则 \(x\)，\(y\) 坐标都变化，用 \(-x\) 替换 \(x\) 坐标同时用 \(-y\) 替换 \(y\) 坐标即可；比如，求 \(y=x^3-\ln x\) 关于 \((0,0)\) 点对称的函数解析式，我们用 \(-x\) 替换 \(x\) 同时用 \(-y\) 替换 \(y\)，整理为 \(-y\)\(=\)\((-x)^3\)\(-\)\(\ln\)\((-x)\)，即 \(y\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(\ln\)\((-x)\)，故 \(y\)\(=\)\(x^3\)\(-\)\(\ln\)\(x\) 关于 \((0,0)\) 点对称的函数解析式为 \(y\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(\ln\)\((-x)\) .

4.[引申结论，要理解]\(\quad\) \(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于直线 x=m 对称}\) \(y=f(2m-x)\)；

备注：可仿上作严谨的逻辑证明，现简单说明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x,y)\)，其关于直线 \(x=m\) 的对称点为 \(P'(2m-x,y)\)，点 \(P'\) 满足解析式 \(y\)\(=\)\(f(x)\)，即 \(y\)\(=\)\(f(2m-x)\)，反之亦成立；故 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\stackrel{关于 x=m 对称}{\Longleftrightarrow}\) \(y\)\(=\)\(f(2m-x)\)

操作方法：关于直线 \(x=m\) 对称，则 \(y\) 坐标不变，只用 \(2m-x\) 替换 \(x\) 坐标即可；

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[y不变,2m-x\Rightarrow x]{关于 x=m 对称}$ $y$$=$$f(2m-x)$ $\xrightarrow[y不变,2m-x\Rightarrow x]{关于 x=m 对称}$ $y$$=$$f(x)$

5.[引申结论，要理解]\(\quad\) \(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于直线 y=n 对称}\) \(y=2n-f(x)\) ；

备注：可仿上作严谨的逻辑证明，现简单说明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x,y)\)，其关于直线 \(y=n\) 的对称点为 \(P'(x,2n-y)\)，点 \(P'\) 的坐标满足解析式 \(y\)\(=\)\(f(x)\)，即 \(2n-y\)\(=\)\(f(x)\)，反之亦成立；故 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\stackrel{关于 y=n 对称}{\Longleftrightarrow}\) \(y\)\(=\)\(2n\)\(-\)\(f(x)\)；

操作方法：关于直线 \(y=n\) 对称，则 \(x\) 坐标不变，只用 \(2n-y\) 替换 \(y\) 坐标即可；

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[x不变,2n-y\Rightarrow y]{关于 y=n 对称}$ $y$$=$$2n-f(x)$ $\xrightarrow[x不变,2n-y\Rightarrow y]{关于 y=n 对称}$ $y$$=$$f(x)$

6.[引申结论，要理解]\(\quad\) \(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于点 (a,b) 对称}\) \(y=2b-f(2a-x)\) ；

备注：可仿上作严谨的逻辑证明，现简单说明，取待确定解析式上的任意一点 \(P(x,y)\)，其关于点 \((a,b)\) 的对称点为 \(P'(2a-x,2b-y)\)，点 \(P'\) 的坐标满足解析式 \(y\)\(=\)\(f(x)\)，即 \(2b-y\)\(=\)\(f(2a-x)\)，整理为 \(y\)\(=\)\(2b\)\(-\)\(f(2a-x)\)，反之亦成立；故 \(y\)\(=\)\(f(x)\)\(\stackrel{关于点 (a,b) 对称}{\Longleftrightarrow}\) \(y\)\(=\)\(2b\)\(-\)\(f(2a-x)\)；

操作方法：关于点 \((a,b)\) 对称，则 \(x\)，\(y\) 坐标都变化，用 \(2a-x\) 替换 \(x\) 坐标同时用 \(2b-y\) 替换 \(y\) 坐标即可；

$y$$=$$f(x)$ $\xrightarrow[2a-x\Rightarrow x,2b-y\Rightarrow y]{关于 (a,b) 对称}$ $y$$=$$2b$$-$$f(2a-x)$ $\xrightarrow[2a-x\Rightarrow x,2b-y\Rightarrow y]{关于 (a,b) 对称}$ $y$$=$$f(x)$

7.[引申结论，要理解]\(\quad\) \(\quad\)\(y=f(x)\) \(\xrightarrow{关于直线 3x+2y-1=0 对称}\)【\(\qquad\)】，考查的频率较小，请仿上自行探索 .

典例剖析

【严谨证明】【要求理解并能主动应用】设函数\(y=f(x)\)，若恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，则该函数图像是轴对称图形，其对称轴为直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)。

证明：设点\(A(m，n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点，则有\(n=f(m)\)

易知，点\(A(m，n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点 \(B(a+b-m，n)\)

由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，

令其中的\(x=m-a\)，则代入上式可得：\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)

又\(f(m)=n\)，\(f(m)=f(a+b-m)\)，∴\(n=f(a+b-m)\)，即点\(B(a+b-m， n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。

由点\(A(m，n)\)的任意性可知，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

函数 \(y=f(x+a)\) 的图像与函数 \(y=f(b-x)\) 的图像关于直线_________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x+a)\)

又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x， y)\)

∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\)，即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)

∴点\(Q(b-a-x，y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。

即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，

关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

【解后反思】如何降低思维的难度呢，我们可以将其具象化，比如令 \(f(x)=\sqrt{x}\) [这个函数的图像你必须要会画，教材上要求会画的幂函数之一]，再令 \(f(x+a)\) 为 \(f(x+4)\)，再令 \(f(b-x)\) 为 \(f(3-x)\)，

做出这几个函数的图像，就很容易得到 \(f(x+4)\) 与 \(f(3-x)\) 的对称轴为 \(x=-1\)，所以由此抽象得到，函数 \(y=f(x+a)\) 的图像与函数 \(y=f(b-x)\) 的图像关于直线 \(x=\cfrac{b-a}{2}\) 对称 .

函数\(y=f(x-a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线___________对称，并证明。

解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x-a)\)

又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)

∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\)，即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)

∴点\(Q(b+a-x，y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，

关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

反思总结：其实例3可以直接用例2的结论。

这样用：对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。

已知函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=a\)对称，则\(a=1\)。

法1：用具体函数做例子，将抽象问题具体化，比如\(f(x)=x^2\)，

则\(f(3-x)=(3-x)^2\)，\(f(1+x)=(1+x)^2\)，做出这两个图像可知，

函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称，

注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。

法2：利用图像变换做抽象说明，以函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)为模板来解释，

函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称，将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\)，

将\(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)，

故此时的两个函数\(f(x+1)\)与\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。

已知函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=b\)对称，则\(b=-1\)。

法1：仿上法1，得到\(b=-1\)。

法2：将\(f(x)\)向左3个单位，得到\(f(3+x)\)，将\(f(-x)\)向右1个单位，

得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\)，故函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。

反思总结：

①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？

若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，

此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；

而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。

②、怎么理解？

【两个函数关于某一点对称】给定命题，函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。

解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，

\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，

\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，

则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，

将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，

即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，

也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，

又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，

函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，

故为真命题。

【两个函数关于某条直线对称】在同一个平面直角坐标系中，函数\(y=f(x+1)\)与函数\(y=f(-x-1)\)的图像恒 【\(\qquad\)】

$A$.关于 $x$ 轴

$B$.关于直线 $x=1$ 对称

$C$.关于直线 $x=-1$ 对称

$D$.关于 $y$ 轴

法1：采用特殊化策略，将抽象问题具体化，令 \(f(x)=2^x\) 在列举具体函数时，尽可能的在基本初等函数范畴内列举，方便操作；同时注意尽可能的列举不要太特殊的函数，比如有对称性的，或者有周期性的函数，这样我们容易出现不必要的偏差，导致出错； ，则 \(f(x+1)=2^{x+1}\)， \(f(-x-1)=2^{-x-1}\)，结合函数图像的变换，可知选 \(C\) .

法2：抽象化思考，由于函数 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\) 的图像关于直线 \(x=0\) 对称，将 \(f(x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 \(x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(x+1)\)；将 \(f(-x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 单独的\(x\)而不是 \(-x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(-(x+1))\)\(=\)\(f(-x-1)\)，这样的平移结果使得 \(f(x+1)\) 与 \(f(-x-1)\) 关于直线 \(x=-1\) 对称[将原来关于直线 \(x=0\) 对称平移后得到关于直线 \(x=-1\) 对称]，可知选 \(C\) 。

已知函数 \(f(x)\) 是定义在\(R\)上的奇函数，且当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=x(x-4)\)，则方程\(f(x)= f(2 -x)\)的所有解的和为【\(\qquad\)】

$A.4+\sqrt{3}$ $B.1$ $C.3$ $D.5$

分析：\(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数，且当 \(x\geqslant 0\) 时，\(f(x)=x(x－4)\)，

当\(x<0\)时，\(-x>0\)，则\(f(-x)=-x(-x-4)=-f(x)\)，

即\(x<0\)时，\(f(x)=-x(x+4)\)，则有\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-4)，x\geqslant 0}\\{-x(x+4)，x<0}\end{array}\right.\)

作出\(y=f(x)\)和\(y=f(2-x)\)的图象如图，\(y=f(2-x)\)的图象与\(y=f(x)\)的图象关于\(x=1\)对称，

作出\(y=f(2-x)\)的图象，由图象知\(y=f(2-x)\)与\(y=f(x)\)的图象有三个交点，

即\(f(x)=f(2-x)\)有三个根，其中一个根为\(1\)，另外两个根\(a\)，\(b\) 关于\(x=1\)对称，

即 \(a+b=2\)，则所有根之和为\(a+b+1=2+1=3\)，故选：\(C\).

---

1. 证明：由函数\(f(x)\)是偶函数，得到\(f(-x)=f(x)①\)；
   又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
   由①②得到，\(f(2a-x)=f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
   即\(f(x+2a)=f(x)\)，故\(T=2a(a>0)\)； ↩︎

2. 证明：由函数\(f(x)\)是奇函数，得到\(-f(-x)=f(x)①\)；
   又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
   由①②得到，\(f(2a-x)=-f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
   即\(f(x+2a)=-f(x)\)，故\(T=4a(a>0)\)； ↩︎

3. 证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
   又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称，得到\(f(x)=f(2b-x)②\)；
   即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
   得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎

4. 证明：由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)；
   又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)；
   即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
   得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎

5. 证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
   又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)，
   故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)得到，\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)，
   再用\(x-2a\)替换\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)，
   即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\)，故\(T=4|a-b|\)； ↩︎