图解三角函数公式

前情概要

受知乎问答的影响，也来将三角函数中的部分相关公式从形的角度做一解释。简单说，利用图形把 “三角函数值” 转化成 “线段长度”，帮我们直观理解三角函数的几何意义。

三角公式的图形表示

图形准备

如上图所示，给定一个单位圆，角 \(\theta\) [由于要用线段长度来表示，故限定 \(\theta\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)]的初始变和 \(x\) 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 \(C\)，过点 \(C\) 做直线 \(AB\perp OC\) 于点 \(C\)，交 \(x\) 轴于点 \(B\)，交 \(y\) 轴于点 \(A\)，\(CD\perp y\) 轴，\(CE\perp x\) 轴，则 \(\triangle AOB\)、\(\triangle BCO\)、\(\triangle ACO\)、\(\triangle BEC\)、\(\triangle CEO\)、\(\triangle CDO\)、\(\triangle CDA\) 都是 \(Rt\triangle\)，且 $ |OC|$$=$$1$ .

由三角函数的定义可知，该点 \(C\) 的坐标为 \(C(\cos\theta,\sin\theta)\)，且有基础的三角函数关系：

$|OE|$$=$$|DC|$$=$$\cos\theta$，$|OD|$$=$$|EC|$$=$$\sin\theta$，

关系引申

1️⃣：将 \(\tan\theta\)、\(\cot\theta\) 图形化

由 \(Rt\triangle\)\(COE\)\(\sim\)\(Rt\triangle\)\(BOC\)，则可得到 \(\cfrac{CE}{OE}\)\(=\)\(\cfrac{BC}{OC}\)，即 \(\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)\(=\)\(\cfrac{BC}{1}\)，故 \(BC\)\(=\)\(\tan\theta\)；

同理，由 \(Rt\triangle\)\(AOC\)\(\sim\)\(Rt\triangle\)\(BOC\)，则可得到 \(\angle CAO=\theta\)，在 \(Rt\triangle AOC\) 中，\(\cot\theta=\cfrac{AC}{OC}\)，故 \(AC\)\(=\)\(\cot\theta\)；

2️⃣：将 \(\sec\theta\)、\(\csc\theta\) 图形化

在 \(Rt\triangle\)\(BOC\) 中，由等面积法可知，\(BO\cdot CE=OC\cdot CB\)，\(OC=1\)，即 \(BO=\cfrac{AC}{CE}=\cfrac{\tan\theta}{\sin\theta}=\sec\theta\)；

在 \(Rt\triangle\)\(AOC\) 中，由等面积法可知，\(AO\cdot CD=AC\cdot OC\)，\(OC=1\)，即 \(AO=\cfrac{AC}{CD}=\cfrac{\cot\theta}{\cos\theta}=\csc\theta\) .

小结：到此为止，关于角 \(\theta\) 的六种三角函数图形化工作就告一段落，我们再次作以强化，也感悟数学的美：

%%$|CE|$$=$$\sin\theta$[正弦]，$|OE|$$=$$\cos\theta$[余弦]，$|CB|$$=$$\tan\theta$[正切]【现行高中学习内容】%% %%$|CA|$$=$$\cot\theta$[余切]，$|OB|$$=$$\sec\theta$[正割]，$|OA|$$=$$\csc\theta$[余割]【现行高中已经不学】%%

关系拓展

在上述图形化的基础上，我们可以继续探究得到，

3️⃣：由勾股定理可以得到如下的平方关系：

由 \(OE^2+EC^2=OC^2\)，即 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，

由 \(OC^2+CB^2=OB^2\)，即 \(\tan^2\theta+1^2=\sec^2\theta\)，

由 \(OC^2+CA^2=OA^2\)，即 \(\cot^2\theta+1^2=\csc^2\theta\)，

4️⃣：由 \(Rt\triangle\) 中的射影定理可知如下倒数关系：

在 \(Rt\triangle\)\(AOB\) 中，由 \(OC^2=AC\cdot BC\)可知，\(\tan\theta=\cfrac{1}{\cot\theta}\)，

在 \(Rt\triangle\)\(COB\) 中，由 \(OC^2=OE\cdot OB\)可知，\(\sec\theta=\cfrac{1}{\cos\theta}\)，

在 \(Rt\triangle\)\(AOC\) 中，由 \(OC^2=OD\cdot OA\)可知，\(\csc\theta=\cfrac{1}{\sin\theta}\)，

5️⃣ ：由角的互余+三角函数定义可推导出诱导公式：

在 \(Rt\triangle\)\(AOC\) 中，\(\angle COD\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{2}\)\(-\)\(\theta\)，则 \(\sin(\cfrac{\pi}{2}-\theta)\)\(=\)\(\cfrac{CD}{OC}\)\(=\)\(CD\)，即 \(\sin(\cfrac{\pi}{2}-\theta)\)\(=\)\(\cos\theta\)；\(\cos(\cfrac{\pi}{2}-\theta)\)\(=\)\(\cfrac{OD}{OC}\)\(=\)\(OD\)\(=\)\(EC\)，即 \(\cos(\cfrac{\pi}{2}-\theta)\)\(=\)\(\sin\theta\) .

图形记忆技巧

三角函数六边形记忆图是一种帮助记忆三角函数运算规则的图形工具。其图形结构为“上弦中切下割，左正右余1中间”。即从上到下、从左到右依次为sinθ、cosθ（上弦）；tanθ、1、cotθ（中切）；secθ、cscθ（下割）。

具体记忆规律如下：

1.倒数关系：对角线上的两种三角函数互为倒数：

\(\sin\theta\times\csc\theta=1\)、\(\tan\theta\times\cot\theta=1\)、\(\cos\theta\times\sec\theta=1\)

2.平方关系：三个倒立的阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方。

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)、\(\tan^2\theta+1=\sec^2\theta\)、\(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\)

3.乘积关系：任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

\(\tan\theta=\sin\theta\times\sec\theta\)、\(\cos\theta=\sin\theta\times\cot\theta\)