探究|等面积法及其应用

前言

等面积法，在初中和高中都有比较高的使用频度。

典例剖析

(1).[初中]如图所示，直线\(m//n\)，点\(A\)，\(B\)，\(C\)是定点，点\(D\)为直线\(m\)上的动点，则\(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}\).

理由：同底等高；两平行线间的距离相等；

(2).[初中探究]如图所示的多边形\(ABCDE\)，若想过点\(E\)作一条直线\(EF\)(其中点\(F\)位于直线\(BC\)上)，使得直线\(EF\)左侧的四边形\(ABFE\)面积和多边形\(ABCDE\)的面积相等，请写出设计方案，并说明理由。

做法：连结\(EC\)，过点\(D\)做\(DF//EC\)交\(BC\)于\(F\)，连结\(EF\)，则直线\(EF\)为所求；

说明：由于\(S_{多边形ABCDE}=S_{多边形ABCOE}+S_{\triangle EOD}\)，\(S_{四边形ABFE}=S_{多边形ABCOE}+S_{\triangle COF}\)，

又由于\(EC//DF\)，由同底等高的缘故可知，\(S_{\triangle DFE}=S_{\triangle DFC}\)，

又由于\(S_{\triangle DFE}=S_{\triangle DFO}+S_{\triangle DOE}\)，\(S_{\triangle DFC}=S_{\triangle DFO}+S_{\triangle COF}\)，

故\(S_{\triangle DOE}=S_{\triangle COF}\)，故\(S_{多边形ABCDE}=S_{四边形ABFE}\)，

即直线\(EF\)为符合题意的直线。

• 普通三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{2S}{a+b+c}(用割补法证明)\)，

• 直角三角形的内切圆的半径\(r=\cfrac{1}{2}(a+b-c)(c为斜边)\)。

\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\times a\times h_{a}=\cfrac{1}{2}\times r\times (a+b+c)\)

\(=\cfrac{1}{2}absinC=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}casinB=\cfrac{abc}{4R}\)

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：请注意，平面内的直角三角形\(\stackrel{类比}{\Longrightarrow}\)空间中的直三面角，

如图所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)两两垂直，过点\(P\)做下底面\(ABC\)的垂线，垂足是\(O\)，连接\(AO\)并延长交\(BC\)于点\(D\)，

则由\(PA\perp\)面\(PBC\)可知，\(PA\perp BC\)，从而可知\(AD\perp\) \(BC\)，\(PD\perp\)\(BC\)，

令\(S_{\Delta PAB}=S_1\)，\(S_{\Delta PBC}=S_2\)，\(S_{\Delta PAC}=S_3\)，\(S_{\Delta ABC}=S\)，

则有结论为：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)

证明如下：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)；

而\(S^2=\cfrac{1}{4}BC^2\cdot AD^2\)，\(BC^2=b^2+c^2\)，

又由于\(AD^2=PA^2+PD^2\)，\(PD^2=\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}\)，解释此处使用了等面积法，\(S_{\triangle PBC}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)\(PC\)\(\cdot\)\(PB\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)\(BC\)\(\cdot\)\(PD\)\(\quad\)，

故代入得到\(S^2=\cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)，

故有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)。

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，

在直角三角形中，用等面积法很容易证明\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)；

右图中，在直角三角形\(PAD\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PD}\)；

在直角三角形\(PBC\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PD}=\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；

故有\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；

【类比推理】正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值，类比到空间，得到正四面体内的任意一点到四个面的距离之和是一个定值；

如左图，正三角形内任意一点 \(O\) 到三边的距离分别为\(a、b、c\)，

则由等面积法可知\(S_{\Delta AOB}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta BOC}=\cfrac{1}{2}(a+b+c)\cdot AB=\cfrac{1}{2}AB\cdot h\)，

又\(h=\cfrac{\sqrt{3}}{2}AB\)，故\(a+b+c=h\)，

故正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值(正三角形棱长的\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)倍)；

如右图，类比推理，用等体积法容易知道\(a+b+c+d=h\)，

其中\(a，b，c，d\)分别是正四面体内部任意一点到四个面的距离，

\(h\)为正四面体的高(正四面体棱长的\(\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)倍)。