共点直线系方程的来龙去脉 | 教学探索

前情概要

当我们学习了直线的方程后，若稍微拓展深入，就可能接触到共点直线系方程 .

共点直线系方程

所谓共点直线系方程，指经过两条直线共用的交点的一族直线，详述如下：

给定两条直线 \(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\) 和 \(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)，

则经过这两条直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 的交点的直线方程为

$$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$$

注意，其中 \(\lambda\) 是待定系数，这族直线有无数条，但不包含直线 \(l_2\)，其共同特点是都经过两条直线的交点，我们称这个方程为共点直线系方程 .

原因解释

那么，为什么经过两条直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 的交点的直线方程为 \((A_1x+B_1y+C_1)\)\(+\)\(\lambda\)$ (A_2x+B_2y+C_2)$ \(=\) \(0\) 呢 .

要理解经过两条直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 交点的直线系方程 \((A_1x+B_1y+C_1)\) \(+\) \(\lambda(A_2x+B_2y+C_2)\) \(=\) \(0\) \(\star\) 的原理，需要弄清楚该方程的两个关键属性：① \(\star\) 式表示直线，② \(\star\) 式必过两直线的交点，且能表示除 \(l_2\) 外的所有过该交点的直线。

① 的解释：为什么 \(\star\) 式可以表示直线，将直线系方程展开整理：

\((A_1+\lambda A_2)x\) \(+\)\((B_1+\lambda B_2)y\) \(+\) \((C_1+\lambda C_2)\) \(=\) \(0\)，这是关于 \(x\)、\(y\) 的一次方程， \(x\)、\(y\) 的系数不同时为零^[1]，符合直线的一般式 \(Ax+By+C= 0\)，\(A\)、\(B\) 不同时为零，因此该方程表示一条直线。

②的解释：为什么 \(\star\) 式必过两直线的交点，

设 \(l_1\)与 \(l_2\)的交点为 \(P(x_0, y_0)\)，则 $P $点坐标满足：

\[\begin{cases}A_1x_0 + B_1y_0 + C_1 = 0 \\A_2x_0 + B_2y_0 + C_2 = 0\end{cases} \]

将 \(P(x_0, y_0)\) 代入直线系方程左边：\((A_1x_0+B_1y_0+C_1)\)\(+\)\(\lambda\)\((A_2x_0+B_2y_0+C_2)\)\(=\)\(0\)\(+\)\(\lambda\) \(\cdot\) \(0\)\(=\)\(0\)

即 \(P(x_0, y_0)\) 满足直线系方程，因此该直线必过两直线的交点。

直线系的覆盖范围

直线系方程 \((A_1x+B_1y+C_1)\) \(+\) \(\lambda(A_2x+B_2y+C_2)\) \(=\) \(0\) 中，

参数 \(\lambda\) 为任意实数，不同的 \(\lambda\) 对应不同的直线，且除 $l_2 $外，所有过交点 $P $的直线都可由该方程表示：

①当 \(\lambda = 0\) 时，方程退化为 \(l_1\) 的方程，即表示 \(l_1\)；

②取任意非零 \(\lambda\)，可表示过 \(P\) 且不同于 \(l_1\) 的直线；

该方程无法表示 \(l_2\)，因为若要表示 \(l_2\)，需满足 \(A_1\) \(+\) \(\lambda\) \(A_2\) \(=\) \(kA_2\)、\(B_1\) \(+\) \(\lambda\) \(B_2\) \(=\) \(kB_2\)、\(C_1\) \(+\) \(\lambda\) \(C_2\) \(=\) \(kC_2\)（\(k\) 为常数），但结合交点条件，没有这样的 \(\lambda\) 能满足，故该方程无法表示直线 \(l_2\) .

细节补充

• 若我们此时需要刻画经过点 \(P(x_0, y_0)\) 的所有共点直线系方程，那么应该包括两种情形：① \((A_1x+B_1y+C_1)\) \(+\) \(\lambda(A_2x+B_2y+C_2)\) \(=\) \(0\)，\(\lambda\) 为任意实数；② \(A_2x+B_2y+C_2=0\) ，这样才能完整表示所有过交点 \(P\) 的直线。

• 同理，如果我们将共点直线系方程写为\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\)，则此时共点直线系方程中就不包含直线\(l_1\)。用课件做以说明。

典例剖析

【求过两直线交点且与已知直线平行的直线方程】已知直线 \(l_1: 2x - y + 1 = 0\)，\(l_2: x + y - 4 = 0\)，求过 \(l_1\) 与 \(l_2\) 的交点且与直线 \(l: 3x - 3y + 2 = 0\) 平行的直线方程。

解：设过 \(l_1\)、\(l_2\) 交点的直线系方程为 \((2x - y + 1) + \lambda (x + y - 4) = 0\)，

整理得 \((2+\lambda)x + (-1+\lambda)y + (1-4\lambda) = 0\)。

又直线 \(l: 3x - 3y + 2 = 0\) 的斜率 \(k = 1\)，两直线平行则斜率相等，

由直线系方程得斜率 \(k' = -\cfrac{2+\lambda}{-1+\lambda} = \cfrac{2+\lambda}{1-\lambda}\)，

令 \(\cfrac{2+\lambda}{1-\lambda} = 1\)，解得 \(\lambda = -\cfrac{1}{2}\)。

将 \(\lambda = -\cfrac{1}{2}\) 代入直线系方程，整理得 \(x - y + 2 = 0\)。

【解后反思】两直线平行则斜率相等（或系数满足 \(A_1B_2 = A_2B_1\) 且 \(A_1C_2 \neq A_2C_1\)），通过该条件建立关于\(\lambda\)的方程求解。

【求过两直线交点且与已知直线垂直的直线方程】已知直线 \(l_1: x - 2y + 3 = 0\)，\(l_2: 2x + 3y - 8 = 0\)，求过 \(l_1\) 与 \(l_2\) 的交点且与直线 \(l: 2x - y + 5 = 0\) 垂直的直线方程。

解：设过交点的直线系方程为 \((x - 2y + 3) + \lambda (2x + 3y - 8) = 0\)，

整理得 \((1+2\lambda)x + (-2+3\lambda)y + (3-8\lambda) = 0\)，

直线 \(l\) 的斜率 \(k = 2\)，两直线垂直则斜率之积为\(-1\)，故所求直线斜率 \(k' = -\cfrac{1}{2}\)。

由直线系方程得 \(k' = -\cfrac{1+2\lambda}{-2+3\lambda} = \cfrac{1+2\lambda}{2-3\lambda}\)，令 \(\cfrac{1+2\lambda}{2-3\lambda} = -\cfrac{1}{2}\)，解得 \(\lambda = 4\)。

将 \(\lambda = 4\) 代入，整理得 \(x + 2y - 7 = 0\)。

【解后反思】：两直线垂直则斜率之积为 \(-1\)（或系数满足 \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)），据此列方程求\(\lambda\)。

【求过两直线交点且过定点的直线方程】已知直线 \(l_1: 3x + 4y - 2 = 0\)，\(l_2: 2x + y + 2 = 0\)，求过 \(l_1\) 与 \(l_2\) 的交点且过点 \(P(3, -1)\) 的直线方程。

解：设过交点的直线系方程为 \((3x + 4y - 2) + \lambda (2x + y + 2) = 0\)，

将 \(P(3, -1)\) 代入方程，得 \((9 - 4 - 2) + \lambda (6 - 1 + 2) = 0\)，即 \(3 + 7\lambda = 0\)，

解得 \(\lambda = -\cfrac{3}{7}\)，将 \(\lambda = -\cfrac{3}{7}\) 代入，

整理得 \(15x + 25y - 20 = 0\)，化简为 \(3x + 5y - 4 = 0\)。

【解后反思】：定点坐标满足直线系方程，直接代入即可建立关于 \(\lambda\) 的方程，求解后得到目标直线。

拓宽深入

以上的情形中，如果 \(l_1\) 和 \(l_2\) 是曲线，那么结论还能成立吗，是否有共点曲线系方程呢，请继续探索浅析共点曲线系方程 | 类比拓展

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1. 假设 \(A_1\)\(+\)\(\lambda A_2\)\(=\)\(0\) 且 \(B_1\)\(+\)\(\lambda B_2\)\(=\)\(0\)，则 \(\lambda\)\(=\)\(-\cfrac{A_1}{A_2}\)\(=\)\(-\cfrac{B_1}{B_2}\)，即 \(A_1B_2\) \(=\) \(A_2B_1\)，此时 \(l_1\) 与 \(l_2\) 平行（无交点），与“过两直线交点”的前提矛盾。因此 \(x\)、\(y\) 的系数不同时为零，方程必表示直线。 ↩︎