浅析共点曲线系方程 | 类比拓展

前情概要

我们已经知道了，给定两条直线 \(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\) 和 \(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)，

则经过这两条直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 的交点的直线系方程为： 其中 \(\lambda\) 是待定系数 。

$$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda\cdot(A_2x+B_2y+C_2)=0$$

共点直线系方程可以推广到曲线，且推广后形成 过曲线交点的曲线系方程 ，其核心逻辑与共点直线系是一致的：利用曲线交点满足各曲线方程的性质，通过参数构造包含所有交点的曲线方程，适用于圆、椭圆、抛物线、双曲线等各类代数曲线。

曲线系方程

设两条曲线 \(C_1: F(x,y)=0\) 和 \(C_2: G(x,y)=0\) 相交于若干点（交点坐标同时满足 \(F(x,y)=0\) 和 \(G(x,y)=0\)），则过 \(C_1\) 与 \(C_2\) 所有交点的曲线系方程为：

\[F(x,y)+\lambda\cdot G(x,y) = 0 \]

其中 \(\lambda\) 为任意实数，该方程表示的曲线必过 \(C_1\) 与 \(C_2\) 的所有交点，且不同的 \(\lambda\) 对应不同的曲线。

相关说明：若 \(P(x_0,y_0)\) 是 \(C_1\) 与 \(C_2\) 的交点，则 \(F(x_0,y_0)=0\) 且 \(G(x_0,y_0)=0\)，代入曲线系方程得 \(0 + \lambda \cdot 0 = 0\)，即 \(P\) 点在曲线系上。

具体案例

1️⃣： 过两圆交点的圆系方程

设两圆 \(C_1:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(+\)\(D_1x\)\(+\)\(E_1y\)\(+\)\(F_1\)\(=\)\(0\) 和 \(C_2:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(+\)\(D_2x\)\(+\)\(E_2y\)\(+\)\(F_2\)\(=\)\(0\) 相交，

则过其交点的圆系方程为：

\[(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1) + \lambda (x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0 \]

当 \(\lambda\)\(\neq\)\(-1\) 时，方程整理后为圆的一般式，仍表示圆；

当 \(\lambda\)\(=\)\(-1\) 时，方程退化为 \((D_1-D_2)x\)\(+\)\((E_1-E_2)y\)\(+\)\((F_1-F_2)\)\(=\)\(0\)，即两圆的公共弦所在直线方程【或称根轴或相交弦方程】。

问题1：为什么两个圆的方程作差，就可以得到相交弦的方程？
$\quad$问题2：那么由其中一个圆方程与相交弦作差，能得到另一个圆方程吗？

问题1解答：两个圆方程作差这个数的表达，对应的形是两个圆相交，而两个圆相交时，其交点是确定的，故相交弦是确定的。
问题2解答：不能，当其中一个圆与相交弦作差时，对应的形的刻画是确定了两个定点，而经过两个定点是不能确定一个圆的，故不能得到另一个圆方程。

引例：圆 \(C_1:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(2x\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\)，圆 \(C_2:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(+\)\(4x\)\(+\)\(2y\)\(-\)\(12\)\(=\)\(0\)，其圆系方程为 \((x^2+y^2-2x-3)\)\(+\)\(\lambda\)\(\cdot\)\((x^2+y^2+4x+2y-12)\)\(=\)\(0\)，当 \(\lambda=-1\) 时，得公共弦方程 \(6x+2y-9=0\)。

配套课件如下，由课件从形上再次印证理论的正确性。

2️⃣： 过直线与圆交点的圆系方程

设直线 \(l:\)\(Ax\)\(+\)\(By\)\(+\)\(C\)\(=\)\(0\) 与圆 \(C:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(+\)\(Dx\)\(+\)\(Ey\)\(+\)\(F\)\(=\)\(0\) 相交，则过其交点的圆系方程为：

\[x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda\cdot(Ax+By+C)=0 \]

该方程始终表示圆（因为 \(x^2\)、\(y^2\) 系数均为1，满足圆的方程特征）。

引例：直线 \(l:\)\(x\)\(-\)\(y\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\) 与圆 \(C:\)\(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(4x\)\(+\)\(2y\)\(-\)\(4\)\(=\)\(0\) 相交，

则经过直线和已知圆的交点的圆系方程为 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(4x\)\(+\)\(2y\)\(-\)\(4\)\(+\)\(\lambda\)\(\cdot\)\((x-y+1)\)\(=\)\(0\)，

取 \(\lambda=2\)，得圆 \(x^2+y^2-2x-5=0\)，该圆必过直线与原圆的交点。

配套课件如下，由课件从形上再次印证理论的正确性。

3️⃣： 过圆锥曲线交点的曲线系方程，已经超出高中数学研究和高考考查的范畴

对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，

设 \(C_1:\)\(Ax^2\)\(+\)\(Bxy\)\(+\)\(Cy^2\)\(+\)\(Dx\)\(+\)\(Ey\)\(+\)\(F\)\(=\)\(0\)，\(C_2:\)\(A'x^2\)\(+\)\(B'xy\)\(+\)\(C'y^2\)\(+\)\(D'x\)\(+\)\(E'y\)\(+\)\(F'\)\(=\)\(0\)，

则过其交点的曲线系方程为：

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F+\lambda\cdot(A'x^2+B'xy+C'y^2+D'x+E'y+F')=0 \]

当 \(\lambda\) 取不同值时，可表示椭圆、双曲线、抛物线等不同类型的圆锥曲线；

若其中一条是直线（可视为退化的圆锥曲线），则方程表示过直线与圆锥曲线交点的圆锥曲线。

引例：抛物线 \(C_1:\)\(y^2\)\(=\)\(4x\) 与直线 \(C_2:\)\(x\)\(-\)\(y\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\)（退化圆锥曲线），曲线系方程为 \(y^2\)\(-\)\(4x\)\(+\)\(\lambda\)\(\cdot\)\((x-y+1)\)\(=\)\(0\)，

取 \(\lambda=4\)，得 \(y^2-4y+4=0\)（即 \((y-2)^2=0\)，表示过交点的重合直线）；

取 \(\lambda=1\)，得 \(y^2-3x-y+1=0\)，表示过交点的抛物线。

配套课件如下，由课件从形上再次印证理论的正确性。

注意事项

①. 退化情况：曲线系方程可能表示退化的曲线（如直线、点），需根据参数 \(\lambda\) 的取值判断；

②. 覆盖范围：与直线系类似，\(F(x,y)\)\(+\)\(\lambda\)\(\cdot\)\(G(x,y)\)\(=\)\(0\) 通常不包含曲线 \(G(x,y)=0\) 本身，需单独验证；

③. 曲线类型限制：若 \(C_1\) 和 \(C_2\) 为不同类型的曲线，曲线系可能表示多种类型的曲线，需结合参数分析。

与其他知识点的关联

整理完这篇内容后，我忽然感觉共点直线系方程、共点曲线系方程和向量的基底，竟然高度相似，不知道对不对。