$f(x)$ 与 $f(2x)$ 的对称轴一样吗 | 知乎问答

前情概要

关于抽象函数的几乎所有性质的研究，我们都感觉比较头疼，很容易出错。

最终结论

若 \(f(x)\) 的对称轴为 \(x=t\)，则 \(f(2x)\) 的对称轴为 \(x=\cfrac{t}{2}\) .

解释说明

由于 \(f(x)\) 的对称轴为 \(x=t\)，根据对称轴定义，对任意 \(x\)，从数的角度看，一定满足表达式 \(f(t+a)\) \(=\) \(f(t-a)\)；

而函数 \(f(2x)\) 是 \(f(x)\) 经过 横向伸缩变换 得到的，即将 \(f(x)\) 的图像沿 \(x\) 轴方向压缩为原来的 \(\dfrac{1}{2}\)【横坐标变为原来的 \(\dfrac{1}{2}\)，纵坐标不变】，原对称轴 \(x=t\) 是 \(f(x)\) 图像上的“对称中心轴”，横向压缩为原来的 \(\dfrac{1}{2}\) 时，对称轴的横坐标也会同步压缩为原来的 \(\dfrac{1}{2}\)，即新对称轴为：\(x\)\(=\)\(t\times\dfrac{1}{2}\)\(=\)\(\dfrac{t}{2}\) .

代数验证

设 \(f(2x)\) 的对称轴为 \(x=m\)，则关于对称轴等距的两个任意自变量 \(m+a\) 和 \(m-a\) ，必然满足 \(f(2(m+a))\) \(=\) \(f(2(m-a))\) ，化简整理得到 \(f(2m+2a)\) \(=\) \(f(2m-2a)\)；而原函数的对称轴为 \(x=t\)，则对任意实数 \(k\) 必满足 \(f(t+k)\) \(=\) \(f(t-k)\)，

\[\left\{\begin{array}{c}{f(2m+2a) = f(2m-2a)}\\{f(t+k)=f(t-k)}\end{array}\right. \]

即此时 \(k\Leftrightarrow 2a\)，\(t\Leftrightarrow 2m\)，

因此令 \(2m\) \(=\) \(t\)，解得 \(m\) \(=\) \(\dfrac{t}{2}\)，验证成立。

图像验证

拓展延申

若 \(f(x)\) 的对称轴为 \(x=t\)，则有结论：

①. \(f(kx)\)（\(k>0\)，\(k≠1\)）的对称轴为 \(x=\dfrac{t}{k}\)【横向伸缩为原来的 \(\dfrac{1}{k}\)】；

②. \(f(kx+b)\)（\(k>0\)，\(k≠1\)）的对称轴为 \(x=\dfrac{t-b}{k}\)【先平移再伸缩，或先伸缩再平移，结果一致】 .

对函数的自变量的再理解

典例剖析

若 \(f(x)\) 对称轴为 \(x=3\)，验证： \(f(2x+4)\) 的对称轴为 \(x=\dfrac{3-4}{2}=-\dfrac{1}{2}\) .

验证：若函数 \(g(x)=f(2x+4)\) 的对称轴为 \(x=-\cfrac{1}{2}\)，

取其关于对称轴等距的两个自变量 \(-\dfrac{1}{2}+a\) 和 \(-\dfrac{1}{2}-a\)，

接下来只要验证\(g(-\dfrac{1}{2}+a)\) 与 \(g(-\dfrac{1}{2}-a)\) 函数值相等即可，

而 \(g(-\dfrac{1}{2}+a)\)\(=\)\(f(2(-\dfrac{1}{2}+a)+4)\)\(=\)\(f(-1+2a+4)\)\(=\)\(f(3+2a)\)，

\(g(-\dfrac{1}{2}-a)\)\(=\)\(f(2(-\dfrac{1}{2}-a)+4)\)\(=\)\(f(-1-2a+4)\)\(=\)\(f(3-2a)\)，

又由于 \(f(x)\) 对称轴为 \(x=3\)，故必然有 \(f(3+2a)\) \(=\) \(f(3-2a)\)，

即 \(g(-\dfrac{1}{2}+a)\) \(=\) \(g(-\dfrac{1}{2}-a)\)

故函数 \(g(x)=f(2x+4)\) 的对称轴为 \(x=-\cfrac{1}{2}\)，正确。