对函数的再理解
凡是提到函数的定义域、函数图像的变换、函数的奇偶性等，都是针对单独的自变量而言的，尤其是涉及复合函数的问题时更要注意理解这一点。
前言
凡是提到函数的定义域、函数图像的变换、函数的奇偶性等，都是针对单独的自变量而言的，尤其是涉及复合函数的问题时更要注意理解这一点。
函数的定义域
- 函数的定义域是针对单独的自变量而言的；
引例，已知函数\(f(x)=2x+1\)的定义域是\([0，+\infty)\)，则意味着只能是\(x\in [0，+\infty)\)；
引例，已知\(f(2x+1)=x+2\)的定义域为\([-1,1]\)，则变换得到\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{2}\)，\(x\in[-1,1]\)；[1]
函数图像变化
- 涉及函数的图像变换，也是针对单独的自变量而言的；
引例，[左右平移]：将函数\(f(2x+1)\)向左平移一个单位，从而得到函数\(f(2x+3)\)本质是用 \(x+1\) 替换单独的自变量 \(x\) ，具体变换为\(f[2(x+1)+1]\)\(=\)\(f(2x+3)\)
引例，[左右伸缩]：将函数\(f(2x+1)\)纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 \(2\) 倍，从而得到函数\(f(x+1)\)本质是用 \(\cfrac{1}{2}x\) 替换单独的自变量 \(x\) ，具体变换为\(f[\)\(2\)\(\times\)\((\frac{1}{2}x)\)\(+\)\(1]\)\(=\)\(f(x+1)\)
函数的奇偶性
- 涉及函数的奇偶性变换时，也是针对单独的自变量而言的；
引例，已知函数\(f(2x+1)\)为偶函数，则有\(f(-2x+1)\)\(=\)\(f(2x+1)\)[解释]令\(g(x)\)\(=\)\(f(2x+1)\)，则由\(g(x)\)为偶函数，可得\(g(-x)\)\(=\)\(g(x)\)，而\(g(-x)\)\(=\)\(f(-2x+1)\)，\(g(x)\)\(=\)\(f(2x+1)\)，即\(f(-2x+1)\)\(=\)\(f(2x+1)\)；，而不是\(f(-2x-1)\)\(=\)\(f(2x+1)\)；
注意，\(f(-2x-1)\)\(=\)\(f(2x+1)\) 刻画的是函数 \(f(x)\) 为偶函数，因为令 \(2x+1=t\)，则 \(-2x-1=-t\) ，即 \(f(-t)=f(t)\) ，即函数 \(f(x)\) 为偶函数.
引例，已知函数\(f(3x+2)\)为奇函数，则有\(f(-3x+2)\)\(=\)\(-f(3x+2)\)[解释]令\(g(x)\)\(=\)\(f(3x+2)\)，则由\(g(x)\)为奇函数，可得\(g(-x)\)\(=\)\(-g(x)\)，而\(g(-x)\)\(=\)\(f(-3x+2)\)，\(-g(x)\)\(=\)\(-f(3x+2)\)，即\(f(-3x+2)\)\(=\)\(-f(3x+2)\)；，而不是\(f(-3x-2)\)\(=\)\(f(3x+2)\)；
注意，\(f(-3x-2)\)\(=\)\(-f(3x+2)\) 刻画的是函数 \(f(x)\) 为奇函数，因为令 \(2x+1=t\)，则 \(-2x-1=-t\) ，即 \(f(-t)=-f(t)\) ，即函数 \(f(x)\) 为奇函数.
法一：[思维层次高一些的解法]由于 \(f(x+2)\) 是偶函数，故有\(f(-x+2)=f(x+2)\)函数的奇偶性都是针对单独的自变量而言的，故由\(f(x+2)\) 是偶函数，能得到 \(f(-x+2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，而不是 \(f(-x-2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，若满足 \(f(-x-2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，得到的应该是 \(f(x)\) 为偶函数，而不是 \(f(x+2)\) 为偶函数。，
又由于 \(f(2x+1)\) 是奇函数， 所以\(f(-2x+1)=-f(2x+1)\)函数的奇偶性都是针对单独的自变量而言的，故由\(f(2x+1)\) 是奇函数，能得到 \(f(-2x+1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，而不是 \(f(-2x-1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，若满足 \(f(-2x-1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，得到的应该是 \(f(x)\) 为奇函数，而不是\(f(2x+1)\)为奇函数。，
由 \(f(-2x+1)=-f(2x+1)\) ，令 \(x=0\)，得到 \(f(1)=-f(1)\)，解得 \(f(1)=0\)，
由 \(f(-2x+1)=-f(2x+1)\) ，令 \(x=1\)，得到 \(f(-1)=-f(3)\)，
由 \(f(-x+2)=f(x+2)\)，令 \(x=1\)，得到 \(f(1)=f(3)\)，
故有\(f(-1)=-f(3)\)\(=-f(1)=0\)， 故 \(B\) 正确 .
法二：由于 [思维层次低一些的解法] 由于 \(f(x+2)\) 是偶函数，则 其对称轴为直线 \(x=0\)，
将 \(f(x+2)\) 的图像向右平移 \(2\) 个单位，得到\(f(x)\)依据口诀"左加右减"，其变换的实质是用 \(x-2\) 替换 \(x\)，具体的变换为 \(f[(x-2)+2]\)\(=\)\(f(x)\)，则其对称轴也相应的变为直线 \(x=2\)，
那么函数 \(f(x)\) 必然满足 \(f(4-x)=f(x)\)① ；
又由于 \(f(2x+1)\) 为奇函数，则 其图像关于点 \((0,0)\) 中心对称，
将 \(f(2x+1)\) 的图像向右平移 \(\cfrac{1}{2}\) 个单位，得到\(f(2x)\)依据口诀"左加右减"，其变换的实质是用 \(x-\cfrac{1}{2}\) 替换单独的自变量 \(x\)，具体的变换为 \(f[2(x-\cfrac{1}{2})+1]\)\(=\)\(f(2x)\)，此时其对称中心相应变化为 \((\cfrac{1}{2},0)\) ，
再将 \(f(2x)\) 的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 \(2\) 倍，得到\(f(x)\)此时变换的实质是用 \(\cfrac{1}{2}x\) 替换单独的自变量 \(x\)，具体的变换为 \(f[2(\cfrac{1}{2}x)]\)\(=\)\(f(x)\)，则其对称中心由 \((\cfrac{1}{2},0)\) 相应变化为 \((1,0)\) ，
即 \(f(x)\) 的对称中心为 \((1,0)\) ，故其满足 \(f(2-x)+f(x)=0\)②，
由①②可得， \(f(2-x)+f(4-x)=0\)，用 \(-x\) 替换 \(x\) 得到 \(f(4+x)+f(2+x)=0\) ，
再用 \(x-2\) 替换 \(x\) 得到，\(f(x+2)+f(x)=0\)，即 \(f(x+2)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\)的周期 \(T=4\)，
再由 \(f(2x+1)\) 为奇函数，令 \(x=0\)，即得到 \(f(1)=0\)，
又由 \(f(4-x)=f(x)\)，令 \(x=1\)，得到 \(f(3)=f(1)=0\)，
故 \(f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1)=0\)，故 \(B\) 正确 .
法三：采用抽象问题具体化的策略，可以降低问题的抽象性，比如理解题意后，可构造 \(f(x)=\cos[\cfrac{\pi}{2}(x-2)]\) 符合题意， 故 \(B\) 正确 .
函数的周期性
- 涉及函数的周期性变换时，也是针对单独的自变量而言的；
引例，函数 \(f(2x+1)\) 的周期为 \(\pi\) ，则函数 \(f(x)\) 的周期是 \(2\pi\)，
解释，借助具体函数理解，如令 \(f(2x+1)=\cos(2x+1)\)，其周期为 \(\pi\)；则 \(f(x)=\cos x\)，其周期为 \(2\pi\)。更深入一步解释，函数 \(f(2x+1)\)的周期和 \(f(2x)\) 的周期相同，由 \(f(2x)\) 变换得到 \(f(x)\) ，体现在数上，是用 \(\cfrac{x}{2}\) 替换 \(x\)后得到的，体现在形上是纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 \(2\) 倍得到的，故周期要变化为原来的 \(2\) 倍。
[具体变换]令\(2x+1=t\)，则\(x\)\(=\)\(\cfrac{t}{2}-\cfrac{1}{2}\)，变换得到\(f(t)\)\(=\)\(\cfrac{t}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{2}\)，即\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{x}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{2}\)，即\(x\in [-1,1]\). ↩︎
