数学内容的思维导图测试

前情概要

关于数学思维导图的尝试，我基本就一直都没有停过，都有哪些 思维导图样式，总是感觉有一点不满意，昨晚无意中发现，并测试用 Markmap [MarkDown + Mindmap] 将 MarkDown 格式的数学内容直接解析为思维导图。

这个测试如果成功，其好处在于，编写非常简单，还可以和我的数学博客融为一体，能很容易的在每一层的节点处嵌入数学公式，同时还可以嵌入数学难点的注释[经过尝试，放弃，执意要用这种会让思维导图的排版很难看]。

可以添加到节点的链接样式：

<a href=\"https://github.com/emacs-eaf/eaf-markmap\">eaf-markmap</a>

[思维导图样式](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11909735.html)

目前不满意之处：脚注没有测试成功，节点的字体设置没有成功，思维导图默认缩小到根节点没有测试成功[20251118测试成功]。昨天20251117，折腾了一天后的感受，这些不满意之处，都可以接受，保持现状是最好的选择。接下来的重点应该是着力于数学内容的建设。

• 用这样的语句 <span title="用于构建网页&#10;结构，由标签组成">HTML</span>，可以给节点添加简单的悬停注解。
换行

备用： [注➑➐➏➍➎] ➊➋➌➍➎➏➐➑➒➓

使用 Markmap 解析

• 相关：由 MarkDown 和 Mindmap 结合而成的一体化软件网页版的MarkMap，备用；

• 本案例依托豆包 AI 构建完成，原来的内容是与电脑有关的，在基本格式满意后，尝试将内容换为高中数学内容。使用方法：点击每一个节点右端的小圆点展开思维导图。若不显示，需要更换 Js 文件的地址。

思维导图 | 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式

全屏

思维导图打印

测试了几个打印效果，都不是很理想。基本能用的思路是：用 Ctrl+Shift+S 截屏保存为图片。以下是曾经测试过的编辑打印的网址：

Markmap Editor

hui_Markmap

中文Markmap - 思维导图在线生成、导出、分享与编辑器

Markmap思维导图编辑器 - 在线思维导图制作工具

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配套注释

注➊：比如在表达式 \(S_n=2n^2+3n+1\) 中，只有 \(S_n\) 和 \(n\) 这两种变量，我们可以用 \(n\) 来表示 \(S_n\)，故抽象为 \(S_n=f(n)\) 的类型，总结这样的类型，是为了方便各位辨析给定表达式的类型，以下同理；再比如在表达式 \(2S_n+a_n=1\) 中，只有 \(S_n\) 和 \(a_n\) 这两种变量，我们可以用 \(a_n\) 来表示 \(S_n\)，故抽象为 \(S_n=f(a_n)\) 的类型；更复杂的情形，如 \(S_n=2a_n+n\)，我们可能不能单独用 \(n\) 或 \(a_{n}\) 来表示 \(S_n\)，故抽象为 \(S_n=f(n,a_n)\) 的类型 .

注➋：此时求解的通项公式，其实质是函数求解析式，如果能将解得的 \(n\geqslant2\) 时的通项公式和 \(n=1\) 时的通项公式能合二为一，则写成一个式子；若不能合二为一，则需要写成分段函数的形式。最常见的错误形式为，求解得到 \(n\geqslant 2\) 时的通项公式后，就不管 \(n=1\) 时的情形能否纳入其中，直接写成最终的结果了。

注➌：为便于表述，我们不妨将 \(S_{n}\) 和 \(S_{n-1}\) 统称为 \(S_{n}\) 类；结合本题目，构造 \(2S_{n-1}+a_{n-1}=1\)，两式做差得到，\(2(S_{n}-S_{n-1})+a_{n}-a_{n-1}=0\)，即 \(2a_{n}+a_{n}-a_{n-1}=0\)，也即 \(3a_{n}-a_{n-1}=0\)，这个式子中没有了 \(S_{n}\) 类，只有 \(a_{n}\) 类，而题目刚好只求解\(a_n\) ，说明我们的总体变形方向是正确的。

注➍：概念: 如果数列的 \(a_{n}\) 与该数列的其它一项或多项之间存在对应关系，即形如 \(a_{n}=f(a_{n-1},a_{n+1},\cdots)\)，则此关系式称为递推关系式。而通项公式则是形如 \(a_{n}=f(n)\) 的形式。

注➎：简单来说，递推关系式可以看成隐性的通项公式，通项公式是 \(a_{n}\) 与 \(n\) 之间的直接的显性关系。一般由递推关系可以推出通项公式 \(a_{n}=f(n)\)，这也是高中数学数列章节中的重点考察内容，当然也能由通项公式推出递推关系，不过基本没有人将简单关系朝复杂关系转化。

注➏：为什么 \(k\) \(=\) \(\cfrac{q}{p-1}\) ? 假设\(a_{n+1}\) \(=\) \(pa_n\)\(+\)\(q\)，可以变形为\(a_{n+1}\) \(+\) \(k\)\(=\) \(p\) \((a_n+k)\)，整理得到\(a_{n+1}\) \(=\) \(pa_n\) \(+\) \(pk\) \(-\) \(k\)，则有\(k\) \((p-1)\) \(=\) \(q\)，故\(k\) \(=\) \(\cfrac{q}{p-1}\)，即只要给所给的形如\(a_{n+1}\) \(=\) \(pa_n\) \(+\) \(q\)的式子两边同时加上常数\(\cfrac{q}{p-1}\)，则可以等价变形为\(a_{n+1}\) \(+\) \(k\) \(=\) \(p\) \((a_n+k)\)，接下来就可以朝等比数列考虑了。

注➐：具体解法见 数列通项公式的求法的例14题

注➑：通过对以下式子的理解抽象，估计你能对 \(a_n\) 的内涵有更深入的理解

如下的多个引例，可以让你从多个角度和多个形式理解 $a_n$ 的内涵！

①\(\cfrac{1}{a_{n+1}}－\cfrac{1}{a_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

②\(\cfrac{1}{S_{n+1}}－\cfrac{1}{S_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}}{n+1}－\cfrac{a_n}{n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n}\}\)是首项为\(\cfrac{a_1}{1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

④\(\cfrac{n}{a_{n+1}+(n+1)}－\cfrac{n-1}{a_n+n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{n-1}{a_n+n}\}\)是首项为\(\cfrac{1-1}{a_1+1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑤\(\cfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}－\cfrac{a_{n}}{2^{n}}=m\)，则数列\(\{\cfrac{a_{n}}{2^{n}}\}\)是首项为\(\cfrac{a_{1}}{2^{1}}\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑥\((a_{n+1}+(n+1))－(a_n + n) = m\)， 则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑦\(a_{n+1}^2－a_n^2 = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑧\(log_m^\,{a_{n+1}^2}－log_m^\,{a_n^2} = p\)，则数列\(\{log_m^\,{a_n^2}\}\)是首项为\(log_m^\,{a_1^2}\)，公差为\(p\)的等差数列；

⑨\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，则数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是首项为\(a_2-2a_1\)，公差为\(0\)的等差数列；

⑩ \(\cfrac{S_{n+1}}{a_{n+1}}-\cfrac{S_{n}}{a_{n}}=2\)，则数列 \(\{\cfrac{S_{n}}{a_{n}}\}\) 是首项为\(\cfrac{S_{1}}{a_{1}}=1\)，公差为\(2\)的等差数列；

以上所列举的凡此种种，都是等差数列，但是 \(a_n\) 的外在表现形式完全不一样，可以是整式，分式，单项式，多项式，指数式，平方式，对数式等等，那么你能把他们抽象成用一个表达式来刻画吗？

\[a_{n+1}-a_n=d，d为常数 \]

因此务必要求，透彻理解 \(a_{n+1}\) 和 \(a_n\) 的“内涵”；

再如下列的引例，强化对代数式 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=m\) (\(m\)常数)中 \(a_{n+1}\) 和 \(a_n\) 的“内涵”的理解：

①\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1} = m\)， 则数列\(\{a_n+1\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

②\(\cfrac{a_{n+1}+(n+1)}{a_n + n} = m\)，则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公比为\(m\)的等比数列；

④\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，则数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是首项为\(a_2-a_1\)，公比为\(2\)的等比数列；

注➒：对这个类型的待定系数法再做引申：形如\(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n^2+4n+2\)，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，(高三仅仅了解)

假设\(a_{n+1}+A(n+1)^2+B(n+1)+C=2(a_n+An^2+Bn+C)\)，解得\(A=3\)，\(B=10\)，\(C=15\)

即\(a_{n+1}+3(n+1)^2+10(n+1)+15=2(a_n+3n^2+10n+15)\)，构造\(\{a_n+3n^2+10n+15\}\)为等比数列；