解析几何题目在线救急系列-1 | 技术整合

前情概要

做为高中数学老师，谁都可能碰到难啃的题目，尤其是碰到的拦路虎是解析几何题目，更是要命，这类题目对数学思维的层次要求高，计算难度大，需要积累的数学常识比较多，缺一个可能就不能顺利解决，对刚入职的老师或者刚上高三的老师来说，更是非常不友好。

近期，有静雅斋数学的博友，紧急求助一个解析几何题目，微信图片版，有三问，要求尽可能快速解答，第二天要用，我一看这个碰到硬茬了，得用特殊手段，就用 AI 做了查询，对其中用到的技术手段做个总结提炼，便于其他同道同仁以后自查自纠不求人。写道一半感觉没意思想放弃，后来在进一步修改错误显示内容的时候，感觉还是有整理的必要，就坚持写完了，但愿对大家有帮助。

AI 有幻觉，有时候会胡说八道，所以求解结果，仅供参考。

案例剖析

设椭圆 \(C: \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) ．已知椭圆上的点与椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为 \(-\cfrac{1}{9}\) ，记 \(A\) 为椭圆下顶点，\(B\) 为右顶点，\(|AB|=\sqrt{10}\) ．

(1) . 求椭圆的标准方程；

(2) . 设 \(P(m, n)\)， \(m \neq 0\)， \(n \neq-1\)， \(R(u, v)\)， \(u \neq 0\)， \(v \neq-1\)， \(\overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{AP}\) \(=4 v+4\) ，直线 \(AR\) 的斜率是 \(A P\) 的斜率的 4 倍，求 \(P\) 点的轨迹方程。

(3) . 在（2）的前提下，求点 \(P\) 的轨迹形成的图形的面积最大的内接平行四边形面积．

说明：以下的解答是用浏览器插件【极客侧边栏】的 AI 助手---阿里千问回答的，里面包含的 AI 还有 Deepseek、OpenAI、Claude、Google、Grok、豆包、阿里千问、绘图模型，之所以选 阿里千问推理版 做解答，是因为其解答结果不需要格式修正，就可以直接移植到静雅斋数学博客内。然后在此基础上，对解答中的难点内容做出特有的注释。效果如下：

(1) . 椭圆的标准方程;

已知椭圆 \(C: \cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1\)（其中 \(a > b > 0\)），椭圆上的任意一点与长轴两端点连线的斜率之积为 \(-\cfrac{1}{9}\)，并且椭圆下顶点 $ A(0, -b) $ 与右顶点 $ B(a, 0) $ 的距离为 $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10} $。

根据椭圆的性质：椭圆上任一点 \((x, y)\) 与长轴两端点所连线段的斜率乘积为 \(-\cfrac{b^2}{a^2}\)^[1]。

由此可得：\( -\cfrac{b^2}{a^2} = -\cfrac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{b^2}{a^2} = \cfrac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad 9b^2 = a^2.\)

又由于 $ a^2 + b^2 = 10 $，联立得：

\(\begin{cases} a^2 = 9b^2 \\ a^2 + b^2 = 10 \end{cases} \Rightarrow 9b^2 + b^2 = 10 \Rightarrow b^2 = 1, \quad a^2 = 9.\)

因此，椭圆的标准方程为：\(\dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1.\)

(2) . 点 \(P\) 的轨迹方程;

设点 $A(0, -1) $ 为椭圆的下顶点，点 $ P(m, n) $ 和 $ R(u, v) $ 满足以下条件：①\(\overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{AP} = 4v + 4\)；② 直线 $ AR $ 的斜率是直线 $ AP $ 的斜率的 4 倍。

向量表达如下：\(\overrightarrow{AR} = (u, v + 1)\)，\(\overrightarrow{AP} = (m, n + 1)\)

根据条件①，点积为：\(um + (v + 1)(n + 1) = 4v + 4.\)

根据条件②，斜率满足：\(\cfrac{v + 1}{u} = 4 \cdot \cfrac{n + 1}{m} \quad \Rightarrow \quad m(v + 1) = 4u(n + 1).\)

从第二个方程解得 $u = \cfrac{m(v + 1)}{4(n + 1)} $，代入第一个方程，整理后得：

\(\cfrac{m^2}{4(n + 1)} + (n + 1) = 4 \quad \Rightarrow \quad m^2 + 4(n + 1)^2 = 16(n + 1).\)

进一步整理得：\(m^2 + 4(n - 1)^2 = 16.\)

即点 \(P(m, n)\) 的轨迹方程为：\(\dfrac{m^2}{16} + \dfrac{(n - 1)^2}{4} = 1.\)

(3) . 最大内接平行四边形的面积; 椭圆内接平行四边形的最大面积

点 \(P\) 的轨迹是一椭圆，其方程为：\(\cfrac{x^2}{16} + \cfrac{(y - 1)^2}{4} = 1\)，中心为 $ (0, 1) $，长半轴为 4，短半轴为 2。

椭圆 \(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2} = 1\) 的内接平行四边形的最大面积为其内接矩形的最大面积 ，即：

\(S = 2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16.\)

因此，点 \(P\) 的轨迹形成的图形中最大内接平行四边形的面积为：\(16.\)

解后反思

写给看到这篇博文的朋友，其一：当身边没有任何人可以借助时，可以借助 AI 帮我们打开思路；其二：慎用 AI ，我的这篇文章几乎全篇就是用 AI 写就的，整个求解和证明思路我都看了一遍，但是几乎没有留下任何印象，所以如果想真正学点东西，整个运算求解过程要自己走一遍，好记性比不过烂笔头，这个真理，你自己也试试。

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1. 我们考虑中心在原点，焦点在 \(x\) 轴上的椭圆，其标准方程为：\(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1\),
   设椭圆上任意一点为 \((x, y)\)，我们考虑它分别与长轴两端点 \((a, 0)\) 和 \((-a, 0)\) 所连线段的斜率乘积。
   点 \((x, y)\) 到 \((a, 0)\) 的连线斜率为：\(k_1 = \cfrac{y - 0}{x - a} = \cfrac{y}{x - a}\),
   点 \((x, y)\) 到 \((-a, 0)\) 的连线斜率为：\(k_2 = \cfrac{y - 0}{x + a} = \cfrac{y}{x + a}\).
   则斜率乘积为： \(k_1 k_2 = \cfrac{y}{x - a} \cdot \cfrac{y}{x + a} = \cfrac{y^2}{x^2 - a^2}\)
   又由于 \(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1\Rightarrow y^2 = b^2 \left(1 - \cfrac{x^2}{a^2}\right) = \cfrac{b^2(a^2 - x^2)}{a^2}\)
   代入斜率乘积公式中：\(k_1 k_2 = \cfrac{y^2}{x^2 - a^2} = \cfrac{\cfrac{b^2(a^2 - x^2)}{a^2}}{x^2 - a^2}\)
   注意，\(a^2 - x^2 = -(x^2 - a^2)\)，因此：\(k_1 k_2 = \cfrac{-\cfrac{b^2(x^2 - a^2)}{a^2}}{x^2 - a^2} = -\cfrac{b^2}{a^2}\) ↩︎