椭圆内接平行四边形的最大面积

前情概要

椭圆内接平行四边形的最大面积与内接矩形的最大面积是否相等？借助 AI 来研究，使用的 AI 是 阿里千问推理版，博主重新编辑，并添加动态课件。以椭圆的标准形式之一为例：\(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1\)，椭圆内接平行四边形是指四个顶点都在椭圆上的平行四边形；内接矩形则是内接于椭圆的矩形。

椭圆的几何性质与对称性

椭圆是一个中心对称图形，关于原点对称。这意味着，任意一点 \(P = (x, y)\) 在椭圆上，则点 \(-P = (-x, -y)\) 也必定在椭圆上。平行四边形的性质：它是一个中心对称图形，其两条对角线在几何上互相平分，因此其对称中心就是两条对角线的中点。因此，任何内接于椭圆的平行四边形，其对称中心也必须与椭圆的中心（原点）重合。

构造内接平行四边形

我们可以构造一个由椭圆上两个点 \(A = (a\cos\theta, b\sin\theta)\) 和 \(B = (a\cos\varphi, b\sin\varphi)\) 所生成的平行四边形，其四个顶点为： \(A = (a\cos\theta, b\sin\theta)\)、 \(B = (a\cos\varphi, b\sin\varphi)\)、 \(C = (-a\cos\theta, -b\sin\theta)\) 、 \(D = (-a\cos\varphi, -b\sin\varphi)\) ，由于这些点关于原点对称，因此它们构成一个平行四边形。

课件验证

全屏 退出

这个思路感觉还是有问题，卡住了，待后思考。

面积公式推导

邻边向量为：\(\vec{v}_1 = B - A = a(\cos\varphi - \cos\theta),\quad \vec{v}_2 = -A - B = -a(\cos\theta + \cos\varphi)\)

叉积计算为：\(S_{0} = \cfrac{1}{2}|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = ab|\sin(\varphi -\theta)|\)

因此，该平行四边形的面积为：\(S = 2S_{0} = 2ab|\sin(\varphi - \theta)|\)

当 \(\sin(\varphi - \theta) = \pm 1\)，即 \(\varphi = \theta \pm \cfrac{\pi}{2}\) 时，面积取最大值：\(S_{\max} = 2ab\)

全屏 退出

椭圆内接矩形的面积

椭圆内接矩形的最大面积为：\(S_{\text{rect}} = 2ab\)

这是通过将椭圆参数化为 \(x = a\cos\theta\)， \(y = b\sin\theta\)，构造矩形顶点为 \(\pm a\cos\theta\)， \(\pm b\sin\theta\)，求其面积最大值所得。

矩形是否是平行四边形的一种？

是的。矩形是平行四边形的特例。因此，矩形的最大面积应当是所有平行四边形面积的一个特例。

在上一部分中，我们已经得到，当 \(\varphi = \theta + \frac{\pi}{2}\) 时，构造的平行四边形面积达到最大值 \(2ab\)，并且当 \(\theta = \cfrac{\pi}{4}\)、\(\varphi = \cfrac{3\pi}{4}\) 时，可以满足矩形的条件（邻边垂直），从而对应于内接矩形。

这表明，最大面积 \(2ab\) 同时被矩形和平行四边形达到。

是否存在非矩形平行四边形达到最大面积？

是的。例如，当 \(\theta = 0\)，\(\varphi = \cfrac{\pi}{2}\) 时，构造的平行四边形不是矩形，但由于面积公式为 \(2ab|\sin(\varphi - \theta)|\)，当 \(\sin\) 为 1 时，面积也为 \(2ab\)。

这说明，在面积最大值 \(2ab\) 下，存在非矩形的平行四边形也可以达到该最大值。

结论

综上所述，椭圆内接平行四边形的最大面积确实等于其内接矩形的最大面积，均为：\(2ab\) .