导数与函数的极值最值

前言

用函数\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\)的正负，我们基本就能研究清楚原函数\(f(x)\)的单调性，也就知道了函数的图像的大致走向，如果还想知道函数性质中的更细节的情形，就需要继续研究，研究函数的极值和函数的最值。举个例子，比如一个班级有\(4\)个小组，我想知道每一个小组中的颜值最高的学生是谁，颜值最低的学生是谁，那么此时的研究范围就是整个班级的一个子集，此时颜值最高[或最低]的学生的颜值情况就类比函数的极大值[或极小值]，具体的学生就类比为极大值点[或极小值点]，她只是一个小范围内的比较结果；如果在整个班级内比较，颜值最高[或最低]的学生，即类比为函数的最大值点[或最小值点]，他们的颜值的具体情况就类比为函数的最大值[或最小值]。精简而准确的数学语言表述如下：

函数极值

• 极大值，括号内为了好理解添加的生活实例，去掉这些内容，就是严格的数学定义；

设\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的定义域内[全部范围研究学生的颜值]的一点，如果对\(x_0\)附近[一个小组内的学生]所有的\(x\)都满足\(f(x)\leqslant f(x_0)\)[有个学生\(x_0\)的颜值\(f(x_0)\)比组内的其他学生的颜值都高，理想状态下，没有两个颜值一样高的情形，取等号的意思是\(x\)包含\(x_0\)]，则称函数\(f(x)\)在\(x_0\)[学生\(x_0\)]处取到极大值\(f(x_0)\)[颜值的高低情况我们可以类比打分来理解；在这个组内颜值最高，在班级内不一定最高]，称\(x_0\)为函数\(f(x)\)的一个极大值点。

• 极小值，括号内为了好理解添加的生活实例，去掉这些内容，就是严格的数学定义；

设\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的定义域内[全部范围研究学生的颜值]的一点，如果对\(x_0\)附近[一个小组内的学生]所有的\(x\)都满足\(f(x)\geqslant f(x_0)\)[有个学生\(x_0\)的颜值\(f(x_0)\)比组内的其他学生的颜值都低，理想状态下，没有两个颜值一样低的情形，取等号的意思是\(x\)包含\(x_0\)]，则称函数\(f(x)\)在\(x_0\)[学生\(x_0\)]处取到极小值\(f(x_0)\)[颜值的高低情况我们可以类比打分来理解；在这个组内颜值最低，在班级内不一定最低]，称\(x_0\)为函数\(f(x)\)的一个极大值点。

如上图所示，函数\(f(x)\)的极大值点[是横轴的取值，不是纵轴的取值]有\(x_0\)，\(x_2\)，\(x_4\)，对应的极大值[是纵轴的取值，不是横轴的取值]有\(f(x_0)\)，\(f(x_2)\)，\(f(x_4)\)；

函数\(f(x)\)的极小值点[是横轴的取值，不是纵轴的取值]有\(x_1\)，\(x_3\)，对应的极小值[是纵轴的取值，不是横轴的取值]有\(f(x_1)\)，\(f(x_3)\)；

研究抓手

就像我们要给学生的颜值打分，自然必须要求其素颜，不能化妆，所以一般借助原函数\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\)的正负来研究其单调性和极值情况。

例题模型

【高考题目改编01】已知函数\(f(x)=alnx+x^2\)，当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在区间\((1，e)\)上的极值和相应的\(x\)值；

解析：由题目可知，限定定义域为\((1，e)\)；

当\(a=-4\;\)时，\(f'(x)=\cfrac{-4}{x}+2x=\cfrac{2x^2-4}{x}=\cfrac{2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x}\)

[从数的角度求解]令\(f'(x)>0\)，解得\(\sqrt{2}<x<e\)，令\(f'(x)<0\)，解得\(1<x<\sqrt{2}\)；

[亦或从形的角度，借助导函数的分子的图像和\(x\in (1，e)\)，写出以下]

可知\(x\in(1，\sqrt{2})\)时，\(f'(x)<0，f(x)\searrow\)；

\(x\in(\sqrt{2}，e)\)时，\(f'(x)>0，f(x)\nearrow\)；

故当\(x=\sqrt{2}\)时，\(f(x)_{\text{极小值}}=f(\sqrt{2})=2ln2+2\)，无极大值；

【高考题目改编02】已知函数\(f(x)=alnx+x^2\)，当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([1，e]\)上的最值和相应的\(x\)值；

解析：由题目可知，限定定义域为\((1，e)\)；

当\(a=-4\;\)时，\(f'(x)=\cfrac{-4}{x}+2x=\cfrac{2x^2-4}{x}=\cfrac{2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x}\)

[从数的角度求解]令\(f'(x)>0\)，解得\(\sqrt{2}<x<e\)，令\(f'(x)<0\)，解得\(1<x<\sqrt{2}\)；

[亦或从形的角度，借助导函数的分子的图像和\(x\in (1，e)\)，写出以下]

可知\(x\in(1，\sqrt{2})\)时，\(f'(x)<0，f(x)\searrow\)；

\(x\in(\sqrt{2}，e)\)时，\(f'(x)>0，f(x)\nearrow\)；

故当\(x=\sqrt{2}\)时，\(f(x)_{\text{极小值}}=f(\sqrt{2})=2ln2+2\)，无极大值；

又因为端点值\(f(1)=1，f(e)=e^2-4>f(1)\)，

故\(x=e\)时，\(f(x)_{max}=f(e)=e^2-4\)，\(x=\sqrt{2}\)时，\(f(x)_{min}=f(\sqrt{2})=2ln2+2\)；

感悟反思：

1、此时我们常常借助导函数的图像或者导函数的分子图像，来简化判断导函数的正负。这体现了数形结合的数学思想。也体现了学以致用的数学方向。

2、注意定义域优先的原则。

【2019\(\cdot\)全国】己知函数 \(f(x)=\sqrt{x}(x^2-ax)\).

(1). 当 \(a=1\) 时，求 \(f(x)\) 的单调区间；

解析： 当 \(a=1\) 时， \(f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)\)，定义域为 \([0,+\infty)\)，

则 \(f(x)=x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}(x \geqslant 0)\)，

则\(f'(x)=\cfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\cfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}(5x-3)\)，

令\(f'(x)=0\)，解得 \(x=\cfrac{3}{5}\)

故当 \(0<x<\cfrac{3}{5}\) 时， \(f'(x)<0\)，当 \(x>\cfrac{3}{5}\) 时， \(f(x)>0\)，

故\(f(x)\)的单调递减区间是\((0,\cfrac{3}{5})\)，单调递增区间为\((\cfrac{3}{5}，+\infty)\)，

(2). 若 \(f(x)\) 在区间\([0, 2]\)的最小值为\(-\cfrac{2}{3}\)，求\(a\)的值.

解： \(f'(x)=\cfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\cfrac{3}{2}ax^{\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}(5x-3a)\)，

①当\(a\leqslant 0\)时，\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递增，故\(f(x)_{\min}=f(0)=0\neq -\cfrac{2}{3}\)，不符合题意，舍去；

②当\(0<\cfrac{3a}{5}<2\)时，当0 \(<a<\cfrac{10}{3}\) 时，则当 \(0<x<\cfrac{3a}{5}\) 时, \(f'(x)<0\)，当 \(\cfrac{3a}{5}<x<2\) 时，\(f(x)>0\)，

故\(f(x)\) 在 \((0, \cfrac{3a}{5})\) 上单调递减，在 \((\cfrac{3a}{5},2)\)上单调递增，

故\(f(x)_{min}=f(\cfrac{3a}{5})=(\cfrac{3a}{5})^{\frac{5}{2}}-a\cdot(\cfrac{3a}{5})^{\frac{3}{2}}=-\cfrac{2}{3}\)，即\(a^{\frac{5}{2}}\cdot(\cfrac{3}{5})^{\frac{3}{2}}(\cfrac{3}{5}-1)=-\cfrac{2}{3}\)

则有\(-a^{\frac{5}{2}}\cdot(\cfrac{3}{5})^{\frac{3}{2}}\cdot\cfrac{2}{5}=-a^{\frac{5}{2}}\cdot(\cfrac{3}{5})^{\frac{5}{2}}\cdot\cfrac{5}{3}\cdot \cfrac{2}{5}=-\cfrac{2}{3}(\cfrac{3}{5}a)^{\frac{5}{2}}=-\cfrac{2}{3}\)

故\((\cfrac{3}{5}a)^{\frac{5}{2}}=1=1^{\frac{5}{2}}\)，即\(\cfrac{3}{5}a=1\)，解得\(a=\cfrac{5}{3}\in (0,\cfrac{10}{3})\)

③当 \(\cfrac{3}{5}a>2\) 时，即\(a>\cfrac{10}{3}\)时，则当 \(0<x<2\) 时， \(f(x)<0\)， \(f(x)\)在\((0, 2)\)上单调递减，

\(f(x)_{\min}=f(2)=\sqrt{2}(4-2a)=-\cfrac{2}{3}\)，解得\(a=2+\cfrac{\sqrt{2}}{6}\not\in(\cfrac{10}{3},+\infty)\)，不符合条件.

故\(f(x)\) 在区间\([0, 2]\)上的最小值为\(-\cfrac{2}{3}\)时，\(a\)的值为\(\cfrac{5}{3}\).