例说三角函数图像变换

前言

三角函数的图像变换，其操作实质是对横坐标和纵坐标的替换。可以利用相关点法来说明；

相关链接

相关点法，可以这样理解，相关点法是所有函数图像变换的依托和基础，不仅仅局限于三角函数的图像变换；

典例剖析

• 相位变换

由\(y=\sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何变形得到\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)；

从形上刻画：向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位得到；

从数上刻画：用\(x+\cfrac{\pi}{4}\Rightarrow x\)，

原因分析：相位变换即左右平移的本质是用\(x+\phi\)替换\(x\)后整理得到的；

故由\(2(x+\phi)-\cfrac{\pi}{3}=2x+2\phi-\cfrac{\pi}{3}=2x+\cfrac{\pi}{6}\)，

解得\(\phi=\cfrac{\pi}{4}\)，[左加右减的口诀是用在\(x+\phi=x+\cfrac{\pi}{4}\)上]

即用\(x+\cfrac{\pi}{4}\)替换\(x\)，故向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位得到；^[1]

由\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何变形得到\(y=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；

从形上刻画：横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)倍得到；

从数上刻画：用\(3x\Rightarrow x\)，

原因分析：周期变换即横向伸缩的本质是用\(\omega x\)替换\(x\)后整理得到的；\(y\)\(=\)\(sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)的原有横坐标系数\(\omega_0=2\)，显然 \(y\)\(=\)\(sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\) 是表达式 \(y\)\(=\)\(sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\) 中的 \(x\) 被 \(3x\) 替换后得到的，^[2] \(y=sin[2\times (3x)-\cfrac{\pi}{3}]=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)，

【例说有关变换次序的问题】

次序1：先相位变换，后周期变换；初始源函数\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，图像向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)个单位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替换上述解析式中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{2})=-3\cos\cfrac{x}{2}\)

②然后，将得到的函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替换\(y=-3\cos\cfrac{x}{2}\)中的单独的自变量\(x\)，得到\(y=-3\cos\cfrac{x}{6}\)；

次序2：先周期变换，后相位变换；初始源函数\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，将源函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替换\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的单独的自变量\(x\)，得到\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

②然后，将得到的图像图像，向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)个单位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替换上述解析式\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{6}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{7\pi}{18})\)；

【2020\(\cdot\)江西南昌调研】函数 \(y=\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})\) 的图像可以由函数 \(y=\cos\cfrac{x}{2}\) 的图像 【\(\quad\)】

$A.$向右平移$\cfrac{\pi}{3}$个单位长度得到

$B.$向右平移$\cfrac{2\pi}{3}$个单位长度得到

$C.$向左平移$\cfrac{\pi}{3}$个单位长度得到

$D.$向左平移$\cfrac{2\pi}{3}$个单位长度得到

解析 : 由 \(y=\cos\cfrac{x}{2}=\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{2})\)，

由于\(y=\sin[\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{2\pi}{3})+\cfrac{\pi}{2}]=\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})\)，

可知函数 \(y=\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})\)的图像，

可以由 \(y=\cos\cfrac{x}{2}\)的图像向右平移\(\cfrac{2\pi}{3}\)个单位长度得到，故选\(B\).

难点反思：①为什么选\(y=\cos\cfrac{x}{2}=\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{2})\)这种变换？虽然\(y=\cos\cfrac{x}{2}=\sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{x}{2})\)，

但是若选取\(y=\sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{x}{2})\)开始变换，不仅需要横轴上的平移，还需要关于\(y\)轴的对称变换，故不采用后者；

②如本题目，我们做变换时，一般将函数名称统一，且将自变量的系数保持不变，这样就保证了只需要左右平移即可；

引申拓展

由于上述的解题经验其实是用相关点法做基础得出的，即三角函数图像的变换本质是坐标的替换，所以完全可以引申到所有函数的图像变换；

【2020届高三模拟训练】把函数\(y=3^x\)的图像沿\(x\)轴向左平移\(m(m>0)\)个单位长度，得到函数\(f(x)=10\)\(\times\)\(3^x\)的图像，则\(f(m)\)=【】

$A.10$ $B.20$ $C.30$ $D.100$

分析：把函数\(y=3^x\)的图像沿\(x\)轴向左平移\(m(m>0)\)个单位长度，

得到\(y=3^{x+m}=3^x\times 3^m=f(x)\)，又题目已知\(f(x)=10\times 3^x\)

故\(3^m=10\)，则\(f(m)=10\times 3^m=10\times 10=100\)，故选\(D\)。

【2021\(\cdot\)全国乙卷理】把函数 \(y=f(x)\) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 \(\cfrac{1}{2}\)， 纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度, 得到函数 \(y=\sin(x-\cfrac{\pi}{4})\) 的图象， 则 \(f(x)=\) 【\(\quad\)】

$A.\sin(\cfrac{x}{2}-\cfrac{7\pi}{12})$ $B.\sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{12})$ $C.\sin(2x-\cfrac{7\pi}{12})$ $D.\sin(2x+\cfrac{\pi}{12})$

解法一：坐标替换法+换元法；函数 \(y=f(x)\) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 \(\cfrac{1}{2}\) ，纵坐标不变得到 \(y=f(2x)\) 的图象，再把所得曲线向右平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度，应当得到 \(y\)\(=\)\(f[2(x-\cfrac{\pi}{3})]\)的图象，根据已知得到了函数 \(y\)\(=\)\(\sin(x-\cfrac{\pi}{4})\) 的图象，所以 \(f[2(x-\cfrac{\pi}{3})]\)\(=\)\(\sin(x-\cfrac{\pi}{4})\) ，令 \(t\)\(=2(x-\cfrac{\pi}{3})\) ，则 \(x\)\(=\)\(\cfrac{t}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{3}\)， \(x\)\(-\)\(\cfrac{\pi}{4}\)\(=\)\(\cfrac{t}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{12}\) ，所以 \(f(t)\)\(=\)\(\sin(\cfrac{t}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{12})\) ，所以 \(f(x)\)\(=\)\(\sin(\cfrac{x}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{12})\) ；故选 \(B\) .

解法二：逆向变换法；由已知的函数 \(y\)\(=\)\(\sin(x\)\(-\)\(\cfrac{\pi}{4})\) 逆向变换．第一步：向左平移 \(\cfrac{\pi}{3}\) 个单位长度，得到 \(y\)\(=\)\(\sin(x\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{3}\)\(-\)\(\cfrac{\pi}{4})\)\(=\)\(\sin(x+\)\(\cfrac{\pi}{12})\) 的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 \(2\) 倍，纵坐标不变，得到 \(y\)\(=\)\(\sin(\cfrac{x}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{12})\) 的图象，即为 \(y=f(x)\) 的图象，所以 \(f(x)\)\(=\sin(\cfrac{x}{2}\)\(+\)\(\cfrac{\pi}{12})\). 故选 \(B\) .

---

1. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为\(P(x,y)\)，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为\(P'(x_1,y_1)\)；
   则其施行的变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=x+\phi}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_1-\phi}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   将其代入已知的函数解析式，得到\(y_1=\sin[2(x_1-\phi)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理为\(y_1=\sin(2x_1-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，
   变换结束后我们往往就会将下标去掉，得到\(y=\sin(2x-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，其应该等价于\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，
   于是解得\(\phi=-\cfrac{\pi}{4}\)，故我们是用\(x_1-(-\cfrac{\pi}{4})=x_1+\cfrac{\pi}{4}\)替换的原解析式中的\(x\)，
   由于是\(+\)，故应该向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位； ↩︎

2. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为\(P(x,y)\)，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为\(P'(x_1,y_1)\)；
   则其施行的变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=\cfrac{1}{3}x}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x=3x_1}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   将其代入已知的函数解析式，得到\(y_1=\sin[2(3x_1)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理为\(y_1=\sin(6x_1-\cfrac{\pi}{3})\)，
   变换结束后我们往往就会将下标去掉，得到\(y=\sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；
   故我们是用\(3x_1\)替换的原解析式中的单独的\(x\)，注意不是替换\(2x\)这个整体， ↩︎