三角函数对称性[奇偶性]

前言

方法总结：函数具有奇偶性的充要条件

函数 \(y=A\sin(\omega x+\phi)(x\in R)\) 是奇函数 \(\Leftrightarrow\) \(\phi=k\pi\) \((k \in Z)\)；

函数 \(y=A\sin(\omega x+\phi)(x\in R)\) 是偶函数 \(\Leftrightarrow\) \(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)\((k \in Z)\)；

函数 \(y=A\cos(\omega x+\phi)(x\in R)\) 是奇函数 \(\Leftrightarrow\) \(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)\((k \in Z)\)；

函数 \(y=A\cos(\omega x+\phi)(x\in R)\) 是偶函数 \(\Leftrightarrow\) \(\phi=k\pi\) \((k \in Z)\)；

常用结论

函数\(f(x)=sinx\)，\(g(x)=Asinx\)，\(h(x)=sin\omega x\)，\(f(x)=Asin\omega x\)都是奇函数；

函数\(f(x)=cosx\)，\(g(x)=Acosx\)，\(h(x)=cos\omega x\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函数；

函数\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)为奇函数，则需要\(sin\phi=0\)，或者\(\phi=k\pi，k\in Z\)；

函数\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)为偶函数，则需要\(sin\phi=\pm 1\)，或者\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\)；

高阶链接

破解正弦型函数参数的取值范围；

对称性

求\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)的对称性；

分析：这种方法可以求得函数的一族对称轴方程和一族对称中心坐标；

令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，

解得对称轴方程为：\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，

求对称中心，先利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称中心，最后补充\(+1\)；

令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)，

故对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}，1)(k\in Z)\)

【2018云南玉溪一模】函数\(f(x)=\sqrt{3}sin2x+2cos^2x\)的一条对称轴为直线【\(\qquad\)】

$A、x=\cfrac{\pi}{12}$ $B、x=\cfrac{\pi}{6}$ $C、x=\cfrac{\pi}{3}$ $D、x=\cfrac{\pi}{2}$

分析：验证法，先变形得到\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，

比如，将\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，并不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；

将\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；

【三轮模拟考试理科用题】已知函数\(f(x)=sinx+acosx\)的图像的一条对称轴是\(x=\cfrac{5\pi}{3}\)，则函数\(g(x)=asinx+cosx\)的最大值是_________.

分析：\(f(x)=sinx+acosx=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)，tan\phi =a\)，

由题目可知，\(\cfrac{5\pi}{3}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，

故\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{5\pi}{3}=k\pi-\cfrac{7\pi}{6}\)，

由于\(\phi\)的值只需要考虑其存在性，故从简原则，

令\(k=1\)，\(\phi=-\cfrac{\pi}{6}\)，从而\(a=tan\phi=tan(-\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

所以\(g(x)=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}sinx+cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\theta)，tan\theta=-\sqrt{3}\)，

故\(g(x)_{max}=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\).

【2017\(\cdot\)全国卷Ⅲ】设函数 \(f(x)=\cos(x+\cfrac{\pi}{3})\)，则下列结论错误的是 【\(\qquad\)】

$A.f(x)$ 的一个周期为$2\pi$

$B.y=f(x)$的图象关于直线 $x=\frac{8\pi}{3}$对称

$C.f(x+\pi)$的一个零点为$x=\frac{\pi}{6}$

$D.f(x)$在$(\frac{\pi}{2}, \pi)$上单调递减

解析： \(f(x)\) 的最小正周期为 \(2\pi\)，易知 \(A\) 正确；

\(f(\cfrac{8\pi}{3})=\cos(\cfrac{8\pi}{3}+\cfrac{\pi}{3})=\cos3\pi=-1\)，为 \(f(x)\) 的最小值， 故 \(B\)正确；

因为 \(f(x+\pi)=\cos(x+\pi+\cfrac{\pi}{3})=-\cos(x+\cfrac{\pi}{3})\)，

所以\(f(\cfrac{\pi}{6}+\pi)=-\cos(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3})=-\cos\cfrac{\pi}{2}=0\)，故 \(C\)正确；

由\(f(\cfrac{2\pi}{3})=\cos(\cfrac{2\pi}{3}+\cfrac{\pi}{3})=-\cos\pi=-1\)，为 \(f(x)\) 的最小值，

故 \(f(x)\) 在 \((\cfrac{\pi}{2}, \pi)\) 上不单调，故\(D\)错误. 故选\(D\)；

若函数 \(f(x)=\cos(3x+\phi-\cfrac{\pi}{3})\)\((0<\phi<\pi)\) 是奇函数，则 \(\phi\)=_________.

解析: 因为 \(f(x)\) 为奇函数， 即当\(x=0\)时，\(f(x)\)取到最值，

所以\(\phi-\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)\)，\(\phi=\cfrac{5\pi}{6}+k\pi\)，\(k\in Z\)，

又因为 \(0<\phi<\pi\)，故 \(\phi=\cfrac{5\pi}{6}\)， 故答案: \(\cfrac{5\pi}{6}\).

典型例题

【2020届高三一轮用题】函数\(f(x)=2cos(\omega x+\phi)(\omega\neq 0)\)对任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，则\(f(\cfrac{\pi}{4})\)的值为【\(\qquad\)】

$A.2或0$ $B.-2或2$ $C.0$ $D.-2或0$

分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)为函数的一条对称轴，

而正弦型或余弦型函数在对称轴处必然会取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，选\(B\)。

解后反思：此题目如果不注意函数的性质，往往会想到求\(\omega\)和\(\phi\)，这样思路就跑偏了。

【2018云南玉溪一模】函数\(f(x)=\sqrt{3}sin2x+2cos^2x\)的一条对称轴为直线【\(\qquad\)】

$A.x=\cfrac{\pi}{12}$ $B.x=\cfrac{\pi}{6}$ $C.x=\cfrac{\pi}{3}$ $D.x=\cfrac{\pi}{2}$

分析：\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，

法1：比较繁琐，令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，则\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in Z\)，即对称轴有无数条，

令\(k=0\)，得到其中的一条对称轴为\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，当\(k\)取其他的值时，都不能得到其他的选项，故选\(B\)。

法2：比较简单，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，

比如，将\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，并不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；

将\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；

【2018江西赣州5月适应性考试】若函数\(f(x)=3cos(2x+\cfrac{\pi}{6})-a\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上有两个零点\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2\)=【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{\pi}{3}$ $B.\cfrac{2\pi}{3}$ $C.\cfrac{5\pi}{6}$ $D.2\pi$

分析：只需要考虑函数\(y=cos(2x+\cfrac{\pi}{6})\)的对称性即可，由\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi\)，\(k\in Z\)，

得到对称轴\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}\)，由题可知，对称轴必须在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)内，令\(k=1\)，得到对称轴为\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)，

又两个零点\(x_1\)和\(x_2\)关于对称轴\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)对称，故\(x_1+x_2=\cfrac{5\pi}{6}\)，故选\(C\)。

【2020·河北“五个一”名校联考】函数 \(f(x)\) \(=\) \(3\sin x\) \(+\) \(4\cos x\)，若直线 \(x=\theta\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的一条对称轴，则\(\cos 2\theta\)\(+\)\(\sin\theta\)\(\cos\theta=\)________.

解法1： 因为 \(f(x)\)\(=\)\(3\sin x\)\(+\)\(4\cos x\)\(=\)\(5\left(\dfrac{3}{5}\sin x+\dfrac{4}{5}\cos x\right)\)，

令\(\cos \varphi\)\(=\)\(\dfrac{3}{5}\)，\(\sin \varphi\)\(=\)\(\dfrac{4}{5}\)，则\(f(x)\)\(=\)\(5(\sin x\cos \varphi+\cos x\sin \varphi)\)\(=\)\(5\sin(x+\varphi)\)，

因为直线 \(x=\theta\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的一条对称轴，

所以\(\theta\)\(+\)\(\varphi\)\(=\)\(k\pi\)\(+\)\(\dfrac{\pi}{2}\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，所以\(\theta\)\(=\)\(k\pi\)\(+\)\(\dfrac{\pi}{2}\) \(-\) \(\varphi\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，

所以\(2\theta\)\(=\)\(2k\pi\)\(+\)\(\pi\)\(-\)\(2\varphi\)，\(k\in\mathbf{Z}\)，

所以\(\cos 2\theta\)\(=\)\(\cos(2k\pi+\pi-2\varphi)\)\(=\)\(-\cos 2\varphi\)\(=\)\(-2\cos^2\varphi\)\(+1\)\(=\)\(-2\times\)\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\)\(+\)\(1\)\(=\)\(\dfrac{7}{25}\)，

\(\sin \theta\cos \theta\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin 2\theta\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin(2k\pi+\pi-2\varphi)\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\sin 2\varphi\)\(=\)\(\sin \varphi\cos \varphi\)\(=\)\(\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{5}\)\(=\)\(\dfrac{12}{25}\)，

所以\(\cos 2\theta\)\(+\)\(\sin \theta\)\(\cos \theta\)\(=\)\(\dfrac{7}{25}\)\(+\)\(\dfrac{12}{25}\)\(=\)\(\dfrac{19}{25}\).

解法2：利用对称轴的导数性质(更通用的代数法)，【方法原理】对于可导函数 \(y=f(x)\)，若直线 \(x=\theta\) 是其对称轴，则函数在 \(x=\theta\) 处取得极值（最大值或最小值），因此极值点处的导数为 \(0\)，即 \(f'(\theta)=0\)。我们可以通过这个性质直接求出 \(\tan\theta\)，再用齐次化法计算目标式，无需引入辅助角\(\varphi\)，更适合通用解题。

由题知 \(f(x)=3\sin x+4\cos x\)，对其求导：\(f'(x)\)\(=\)\(3\cos x\) \(-\) \(4\sin x\)，

因为 \(x=\theta\) 是对称轴，所以 \(f'(\theta)=0\)，即：\(3\cos\theta\) \(-\) \(4\sin\theta\) \(=\) \(0\)，

整理得：\(4\sin\theta\) \(=\) \(3\cos\theta\) \(\implies\) \(\tan\theta = \cfrac{3}{4}\)，

目标式为：\(\cos2\theta\) \(+\) \(\sin\theta\cos\theta\) \(=\) \((\cos^2\theta - \sin^2\theta)\) \(+\) \(\sin\theta\cos\theta\)，

故 \(\cos2\theta + \sin\theta\cos\theta = \cfrac{\cos^2\theta - \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta + \sin^2\theta}\) \(=\) \(\cfrac{1 - \tan^2\theta + \tan\theta}{1 + \tan^2\theta}\)

代入 \(\tan\theta=\cfrac{3}{4}\) 计算

\(\cos2\theta + \sin\theta\cos\theta =\cfrac{1 - \left(\cfrac{3}{4}\right)^2 + \cfrac{3}{4}}{1 + \left(\cfrac{3}{4}\right)^2} = \cfrac{1 - \cfrac{9}{16} + \cfrac{3}{4}}{1 + \cfrac{9}{16}} = \cfrac{\cfrac{16 - 9 + 12}{16}}{\cfrac{16 + 9}{16}} = \cfrac{19}{25}\)

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】若函数\(f(x)=asinx+cosx\)(\(a\)为常数，\(a\in R\))的图像关于直线\(x=\cfrac{\pi}{6}\)对称，则函数\(g(x)=sinx+acosx\)的图像【\(\qquad\)】

$A.关于直线x=-\cfrac{\pi}{3}对称$

$B.关于直线x=\cfrac{\pi}{6}对称$

$C.关于点(\cfrac{\pi}{3}，0)对称$

$D.关于点(\cfrac{5\pi}{6}，0)对称$

分析：\(y=f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)\)，其中\(tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，

由函数\(f(x)=asinx+cosx\)的图像关于直线\(x=\cfrac{\pi}{6}\)对称，可知\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\)，

则\(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，又\(g(x)=sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{3}cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)，

逐项验证，可知选\(D\)。

函数\(y=\tan(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像关于点\((\cfrac{\pi}{6},0)\)成中心对称，判断正误；

分析：正切函数的对称中心不一定能用验证法，有时候对称中心不在函数图像上。

由\(x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)

令\(k=1\)，则\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，故函数\(y=\tan(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像关于点\((\cfrac{\pi}{6},0)\)成中心对称，正确；

给出方式

1、任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)为三角函数的一条对称轴；

2、任意\(x\)都有 \(f(x)\leqslant |f(\cfrac{\pi}{6})|\) ，可知\(x=\cfrac{\pi}{6}\)为三角函数的一条对称轴；