方向向量和法向量的求解 | 空间向量
说明直线的方向向量的坐标和平面的法向量的坐标的求法。
前言
在空间中确定直线的位置，只需要一个确定点和直线的方向向量；在空间中确定平面的位置，只需要一个确定点和平面的法向量 . 有了直线的方向向量和平面的法向量后，研究直线之间、直线与平面、平面与平面的位置关系，就可以由空间证明转化为数学运算来完成。所以如何确定直线的方向向量和平面的法向量就显得尤为重要 .
直线方向向量
直线的方向向量有两类[个数有无穷多，朝向直线的两个方向，大小不定]，其单位向量有两个；与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的单位向量 \(\vec{a_0}\) 为两个，求解公式： \(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
- 直线的斜截式为\(y=kx+b\)，则其一个方向向量可以是\(\overrightarrow{s}=(1，k)\)，为什么是这样的？
解释：直线 \(y\)\(=\)\(kx\)\(+\)\(b\) 和 \(y\)\(=\)\(kx\) 平行，则其方向向量是一致的，故只研究直线\(y\)\(=\)\(kx\)的方向向量，如图所示，在 \(y\)\(=\)\(kx\) 图像上取一点 \(P(1，k)\)，则\(\overrightarrow{OP}\)\(=\)\(\vec{s}\) 即为其一条方向向量；其坐标为 \(\vec{s}\)\(=\)\((1，k)\)；自然也可以是 \((-1,-k)\)；
- 直线的一般式为\(Ax\)\(+\)\(By\)\(+\)\(C\)\(=\)\(0\)，则其一个方向向量可以为\(\overrightarrow{s}\)\(=\)\((1,-\cfrac{A}{B})\)，或\(\overrightarrow{s}\)\(=\)\((B,-A)\)，或\(\overrightarrow{s}\)\(=\)\((-B,A)\)
预备知识：经过两点\(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)的直线的方向向量的坐标可以记为\((x_2-x_1,y_2-y_1)\)，当直线的斜率\(k\)存在时，方向向量的坐标可以记为\((1,k)\)，[即\((1,k)\)\(=\)\((1,\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})\)]；
结论：斜截式直线方程 \(y\)\(=\)\(kx\)\(+\)\(b\) 的一个方向向量可以取为 \((1,k)\) ，或 \((-1,-k)\) 或 \((2,2k)\) 等；
一般式直线方程 \(Ax\)\(+\)\(By\)\(+\)\(C\)\(=\)\(0\) 的一个方向向量可以取为\((1,k)\) ，或 \((1,-\cfrac{A}{B})\) 或 \((B,-A)\) 或 \((-B,A)\) 等；
平面的法向量
- 廓清认知：我们知道，从形的角度思考，两条平行直线能确定一个平面，两条相交直线也能确定一个平面，但是从数的角度思考时，我们确定平面的法向量时使用的依据却只是：两条相交直线确定一个平面，原因是两条相交直线可以作为平面的基底向量，来刻画这个平面内的所有向量，从而也能刻画这个平面，而两条平行直线所在的向量，由于共线是不能作为平面的基底向量 .
(1).证明：\(BD\perp\) 平面 \(PAC\)；
证明：由于侧棱 \(PA\perp\) 底面\(ABCD\)，\(BD\subsetneqq\) 底面 \(ABCD\)，故 \(PA\perp BD\)；
又由于 \(AC\) 和 \(BD\) 是正方形的对角线，则 \(AC\perp BD\)，
则\(BD\perp AC\)，\(BD\perp PA\)，\(PA\cap AC=A\)，
\(PA\subsetneqq\) 平面 \(PAC\)，\(AC\subsetneqq\) 平面 \(PAC\)，
故 \(BD\perp\) 平面 \(PAC\)；
(2).求二面角 \(C-BD-Q\) 的余弦值。【此题目包含平面的法向量的详细求解方法】
✍️思路一，空间向量法，由题可知，\(AB\)、\(AP\)、\(AD\) 两两垂直，以 \(A\) 为坐标原点，分别以 \(AB\)、\(AD\)、\(AP\) 所在直线为 \(x\)，\(y\)，\(z\) 轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则点\(B(2，0，0)\)，\(C(2，2，0)\)，\(D(0，2，0)\)，\(Q(0，0，1)\)，
所以 \(\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)\)，\(\overrightarrow{BQ}=(-2，0，1)\)，
设平面 \(BDQ\) 的法向量为 \(\vec{m}=(x，y，z)\)，[1] 则有
即\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\)，可以取 \(\vec{m}=(1，1，2)\) 由于得到的方程组是不定方程组，应该有无穷多组解，此处只关注其存在性，故可以通过赋值来得到这个不定方程组的解。比如考虑到运算的简单，我们令\(x=1\)，则得到\(y=1\)，\(z=2\)，则 \(\vec{m}\)\(=\)\((1,1,2)\)
平面 \(BDC\) 的法向量为 \(\vec{n}=(0，0，1)\)可以用同样的思路和方法来求解法向量，当然也可以用更快捷的方法，比如我们注意到平面 \(BDC\) 也就是平面 \(ABCD\)，故其法向量可以取 \(z\) 轴所在直线的方向向量，为简单起见，取为\((0,0,1)\)，
设二面角 \(C-BD-Q\) 的平面角为 \(\theta\)，由图可知 \(\theta\) 为钝角1、平面角为锐角或钝角是直观观察得到的；2、\(<\vec{m},\vec{n}>\) 可能为锐角，也可能为钝角，故使用 \(|\cos<\vec{m},\vec{n}>|\) 来限制，又由于平面角为钝角，故\(cos\theta\)\(=\)\(-|cos<\vec{m}，\vec{n}>|\)，则有
所以二面角 \(C-BD-Q\) 的余弦值为 \(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\) .
✍️思路二，定义法，求解步骤为[作---证---算]；令 \(AC\) 与 \(BD\) 的交点为 \(E\)，连结 \(QE\) 和 \(QC\)，则 \(\angle QEC\) 为所求二面角的平面角[一作]，理由如下：
由于底面 \(ABCD\) 是正方形，故 \(EC\perp BD\)，又由于 \(BD\perp AC\)，\(BD\perp AP\)，则 \(BD\perp\) 平面 \(QAC\)，\(QE\subsetneqq\) 平面 \(QAC\)，故 \(BD\perp QE\)，到此满足条件 \(QE\perp BD\)，又 \(EC\perp BD\)，则 \(\angle QEC\) 为所求二面角 \(C-BD-Q\) 的平面角[二证] .
由题目可知， \(ABCD\) 是边长为 \(2\) 的正方形，则 \(AC=2\sqrt{2}\)，\(EC=\sqrt{2}\)，又 \(QA=1\)，则由勾股定理可知 \(QE=\sqrt{3}\)， \(QC=3\)，
到此可知，在 \(\triangle QEC\) 中，\(EC=\sqrt{2}\)，\(QE=\sqrt{3}\)，\(QC=3\)，利用余弦定理可知，
\(\cos\angle QEC\)\(=\)\(\cfrac{EC^2+QE^2-QC^2}{2\times EC\times QE}\)\(=\)\(\cfrac{2+3-9}{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}}\)\(=\)\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)[三算] .
所以二面角 \(C-BD-Q\) 的余弦值为 \(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\) .
[解后反思]：思路二主要使用在高一阶段，学生初次学习了二面角，还没有学习空间向量，这种方法的优越性在于能明白无误的做出来平面角，知道它在图形中的什么地方，也能准确的计算出来，思路一主要使用在学生学习了空间向量之后，这种方法即使你不知道所求的平面角如何作，也能进行相关的计算，不足之处是学生对二面角的平面角在哪里，长什么样子都可能糊里糊涂，所以这几年有高校的老师强烈建议取消思路一的教学，强制使用思路二，也不无道理。
典例剖析
法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，
直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{3}{\sin\theta}\)，
由两条直线相互垂直可知，\(k_1\times k_2=-1\)，即\((-\cfrac{\cos\theta}{2})(-\cfrac{3}{\sin\theta})=-1\)
则可以得到，\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，
直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-3，\sin\theta)\)，
由两条直线相互垂直可知，\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)，即\((-\cos\theta)\times (-3)+2\times\sin\theta=0\)
则可以得到，\(2\sin\theta+3\cos\theta=0\)，即\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率为\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，
直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)，
由两条直线相互平行可知，\(k_1=k_2\)，即\(-\cfrac{\cos\theta}{2}=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)
则可以知道，\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，
直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-\sin\theta，3)\)，
由两条直线相互平行可知，\(\vec{u}//\vec{v}\)，即\(-3\cos\theta-2(-\sin\theta)=0\)
则可以得到，即\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
分析：\(f'(x)=\cfrac{1}{x}-2ax\)，由函数\(f(x)\)在点\((2，f(2))\)处的切线的一个方向向量是\((2，-3)\)，
则可知此切线的斜率为 \(k_0\)\(=\)\(f'(2)\)\(=\)\(-\cfrac{3}{2}\)，即\(f'(2)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}-4a\)\(=\)\(-\cfrac{3}{2}\)，解得\(a=\cfrac{1}{2}\)，
分析：由于\(k_{l_1}=-\cfrac{m+3}{4}\)，\(k_{l_2}=-\cfrac{2}{m+6}\)，又由于\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)，
解得\(m=-5\)，即\(l_1： x-2y+10=0\)，即\(k_{l_1}=\cfrac{1}{2}\)，
故其一个方向向量可以是\((1，k)\)，即\((1，\cfrac{1}{2})\)，无此选项；
可以调整为与其共线的反向向量\((-1，-\cfrac{1}{2})\)；故选\(D\);
分析：直线\(3x+4y+5=0\)的一个方向向量为\(\vec{s}=(4,-3)\)，
故与此方向向量共线的一个单位向量为\(\cfrac{\vec{s}}{|\vec{s}|}=\cfrac{1}{5}(4,-3)=(\cfrac{4}{5}，-\cfrac{3}{5})\)
故选\(D\).
解： \(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\pm\cfrac{1}{10}(6,-8)=\pm(\cfrac{3}{5},-\cfrac{4}{5})\)，
即：\(\vec{a_0}=(\cfrac{3}{5},-\cfrac{4}{5})\) 或 \((-\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\) ；
注意： 与非零向量 \(\vec{a}\) 共线的单位向量 \(\vec{a_0}\) 有两个，\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；和 \(\vec{a}\) 同向的单位向量为 \(\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)，和 \(\vec{a}\) 反向的单位向量为 \(-\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
解：先求解与 \(\vec{a}\) 垂直的向量，设为 \(\vec{v}=(x,y)\)，
则由 \(\vec{a}\cdot\vec{v}=0\) ，则 \(4x+2y=0\)，即 \(y=-2x\)，
引入非零因子 \(k\) ，令 \(x=k\)，则 \(y=-2k\)，
故 \(\vec{v}=(k,-2k)\)，\(|\vec{v}|=\sqrt{5}|k|\)，
再将其单位化，得到所求的单位向量 \(\vec{v_0}=\pm\cfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\pm \cfrac{1}{\sqrt{5}|k|}(k,-2k)\)，
当 \(k>0\) 时， \(\vec{v_0}=(\cfrac{\sqrt{5}}{5},-\cfrac{2\sqrt{5}}{5})\)，
当 \(k<0\) 时，\(\vec{v_0}=(-\cfrac{\sqrt{5}}{5},\cfrac{2\sqrt{5}}{5})\)，
故与 \(\vec{a}\) 垂直的单位向量 \(\vec{a_0}\) 的坐标为 \((\cfrac{\sqrt{5}}{5},-\cfrac{2\sqrt{5}}{5})\)，或 \((-\cfrac{\sqrt{5}}{5},\cfrac{2\sqrt{5}}{5})\)，
工具化求法向量
如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和平面垂直。 ↩︎
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