第三次作业

1、 参考书《数据压缩导论(第4版)》  P 100  5 6

5、给定如表4-9所示的概率模型,求出序列a1a1a3a2a3a1 的实值标签。


字母                    概率


 

a1                             0.2

a2                             0.3

a3                             0.5


 

解:定义随机变量X(ai)=i,假定我们对113231进行编码,则

由概率模型可知:

FX(k)=0,k<=0,FX(1)=P(a1)=0.2,FX(2)=P(a1)+P(a2)=0.2+0.3=0.5,

FX(3)=P(a1)+P(a2)+P(a3)=0.2+0.3+0.5=1,FX(k)=1,k>3,

我们先确定标签的上下界,将l(0)初始化为0,将u(0)初始化为1。

那么,此序列的第一个元素为1,则得到以下更新:

u(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*FX(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

l(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*FX(1-1)=0+(1-0)*0=0

也就是说,该标签包含在区间[0,0.2)中。

 

那么,此序列的第二个元素为1,则得到以下更新:

u(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*FX(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

l(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*FX(1-1)=0+(0.2-0)*0=0

也就是说,该标签包含在区间[0,0.04)中。

 

那么,此序列的第三个元素为3,则得到以下更新:

u(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*FX(3)=0+(0.04-0)*1=0.04

l(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*FX(3-1)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

也就是说,该标签包含在区间[0.02,0.04)中。

 

那么,此序列的第四个元素为2,则得到以下更新:

u(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*FX(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5=0.03

l(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*FX(2-1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

也就是说,该标签包含在区间[0.024,0.03)中。

 

那么,此序列的第五个元素为3,则得到以下更新:

u(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*FX(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

l(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*FX(3-1)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

也就是说,该标签包含在区间[0.027,0.03)中

 

那么,此序列的第六个元素为1,则得到以下更新:

u(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*FX(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.00276

l(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*FX(1-1)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

也就是说,该标签包含在区间[0.027,0.00276)中。

 

可以生成序列113231的标签如下:

TX(113131)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

TX(a1a1a3a2a3a1 )=(0.027+0.0276)/2=0.0273

 

 

6、对于表4-9给出的概率模型,对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解:由概率模型可知:

FX(k)=0,k<=0,FX(1)=P(a1)=0.2,FX(2)=P(a1)+P(a2)=0.2+0.3=0.5,

FX(3)=P(a1)+P(a2)+P(a3)=0.2+0.3+0.5=1,FX(k)=1,k>3,

我们先确定标签的上下界,我们将l(0)初始化为0,u(0)初始化为1,那么有

u(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*FX(X1)=0+(1-0)* FX(X1)= FX(X1

l(1)=l(0)+(u(0)-l(0))*FX(X1-1)=0+(1-0)* FX(X1-1)= FX(X1-1)

若X1=1,FX(X1)=0.2,FX(X1-1)=0,则该标签所在区间为[0,0.2);

若X1=2,FX(X1)=0.5,FX(X1-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.2,0.5);

若X1=3,FX(X1)=1,FX(X1-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.5,1)。

因为0.63215699在区间[0.5,1)中,所以X1=3,l(1)=0..5,u(1)=1,该序列的第一个元素为a3

 

u(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*FX(X2)=0.5+(1-0.5)* FX(X2)=0.5+0.5 * FX(X2

l(2)=l(1)+(u(1)-l(1))*FX(X2-1)=0.5+(1-0.5)* FX(X2-1)=0.5+0.5* FX(X2-1)

若X2=1,FX(X2)=0.2,FX(X2-1)=0,则该标签所在区间为[0.5,0.6);

若X2=2,FX(X2)=0.5,FX(X2-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.6,0.75);

若X2=3,FX(X2)=1,FX(X2-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.75,1);

因为0.63215699区间[0.6,0.75)中,所以X1=2,l(2)=0.6,u(2)=0.75,该序列的第二个元素为a2

 

u(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*FX(X3)=0.6+(0.75-0.6)* FX(X3)=0.6+0.15 * FX(X3

l(3)=l(2)+(u(2)-l(2))*FX(X3-1)=0.6+(0.75-0.6)* FX(X3-1)=0.6+0.15 * FX(X3-1)

若X3=1,FX(X3)=0.2,FX(X3-1)=0,则该标签所在区间为[0.6,0.63);

若X3=2,FX(X3)=0.5,FX(X3-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.63,0.675);

若X3=3,FX(X3)=1,FX(X3-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.675,0.75);

因为0.63215699区间[0.675,0.75)中,所以X3=2,l(3)=0.63,u(3)=0.675,该序列的第三个元素为a2

 

u(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*FX(X4)=0.63+(0.675-0.63)* FX(X4)=0.63+0.045 * FX(X4

l(4)=l(3)+(u(3)-l(3))*FX(X4-1)=0.63+(0.675-0.63)* FX(X4-1)=0.63+0.045 * FX(X4-1)

若X4=1,FX(X4)=0.2,FX(X4-1)=0,则该标签所在区间为[0.63,0.639);

若X4=2,FX(X4)=0.5,FX(X4-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.639,0.6525);

若X4=3,FX(X4)=1,FX(X4-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.6525,0.675);

因为0.63215699区间[0.63,0.639)中,所以X4=1,l(4)=0.63,u(4)=0.639,该序列的第四个元素为a1

 

u(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*FX(X5)=0.63+(0.639-0.63)* FX(X5)=0.63+0.009 * FX(X5

l(5)=l(4)+(u(4)-l(4))*FX(X5-1)=0.63+(0.639-0.63)* FX(X5-1)=0.63+0.009 * FX(X5-1)

若X5=1,FX(X5)=0.2,FX(X5-1)=0,则该标签所在区间为[0.63,0.6318);

若X5=2,FX(X5)=0.5,FX(X5-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.6318,0.6345);

若X5=3,FX(X5)=1,FX(X5-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.6345,0.639);

因为0.63215699区间[0.6318,0.6345)中,所以X5=2,l (5)=0.6318,u(5)=0.6345,该序列的第五个元素为a2

 

 

u(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*FX(X6)=0.6318+(0.6345-0.6318)* FX(X6)=0.6318+0.0027 * FX(X6

l(6)=l(5)+(u(5)-l(5))*FX(X6-1)=0.6318+(0.6345-0.6318)* FX(X6-1)=0.6318+0.0027 * FX(X6-1)

若X6=1,FX(X6)=0.2,FX(X6-1)=0,则该标签所在区间为[0.6318,0.63234);

若X6=2,FX(X6)=0.5,FX(X6-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.63234,0.63315);

若X6=3,FX(X6)=1,FX(X6-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.63315,0.6345);

因为0.63215699区间[0.6318,0.63234)中,所以X6=1,l (6)=0.6318,u(6)=0.63234,该序列的第六个元素为a1

 

 

u(7)=l(6)+(u(6)-l(6))*FX(X7)=0.6318+(0.63234-0.6318)* FX(X7)=0.6318+0.00054 * FX(X7

l(7)=l(6)+(u(6)-l(6))*FX(X7-1)=0.6318+(0.63234-0.6318)* FX(X7-1)=0.6318+0.00054 * FX(X7-1)

若X7=1,FX(X7)=0.2,FX(X7-1)=0,则该标签所在区间为[0.6318,0.631908);

若X7=2,FX(X7)=0.5,FX(X7-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.631908,0.63207);

若X7=3,FX(X7)=1,FX(X7-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.63207,0.63234);

因为0.63215699区间[0.63207,0.63234)中,所以X7=3,l (7)=0.63207,u(7)=0.63234,该序列的第七个元素为a3

 

u(8)=l(7)+(u(7)-l(7))*FX(X8)=0.63207+(0.63234-0.63207)* FX(X8)=0.63207+0.00027 * FX(X8

l(8)=l(7)+(u(7)-l(7))*FX(X8-1)=0.63207+(0.63234-0.63207)* FX(X8-1)=0.63207+0.00027 * FX(X8-1)

若X8=1,FX(X8)=0.2,FX(X8-1)=0,则该标签所在区间为[0.63207,0.632124);

若X8=2,FX(X8)=0.5,FX(X8-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.632124,0.632205);

若X8=3,FX(X8)=1,FX(X8-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.632205,0.63234);

因为0.63215699区间[0.632124,0.632205)中,所以X8=3,l (8)=0.632124,u(8)=0.632205,该序列的第八个元素为a3

 

 

u(9)=l(8)+(u(8)-l(8))*FX(X9)=0.632124+(0.632205-0.632124)* FX(X9)=0.632124+0.000081 * FX(X9

l(9)=l(8)+(u(8)-l(8))*FX(X9-1)=0.632124+(0.632205-0.632124)* FX(X9-1)=0.632124+0.000081* FX(X9-1)

若X9=1,FX(X9)=0.2,FX(X9-1)=0,则该标签所在区间为[0.632124,0.6321402);

若X9=2,FX(X9)=0.5,FX(X9-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.6321402,0.6321645);

若X9=3,FX(X9)=1,FX(X9-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.6321645,0.632205);

因为0.63215699区间[0.6321402,0.6321645)中,所以X9=2,l (9)=0.6321402,u(9)=0.6321645,该序列的第九个元素为a2

 

u(10)=l(9)+(u(9)-l(9))*FX(X10)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)* FX(X10)=0.6321402+0.0000243 * FX(X10

l(10)=l(9)+(u(9)-l(9))*FX(X10-1)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)* FX(X10-1)=0.6321402+0.0000243 * FX(X10-1)

若X10=1,FX(X10)=0.2,FX(X10-1)=0,则该标签所在区间为[0.6321402, 0.63214506);

若X10=2,FX(X10)=0.5,FX(X10-1)=0.2,则该标签所在区间为[0.63214506, 0.63215235);

若X10=3,FX(X10)=1,FX(X10-1)=0.5,则该标签所在区间为[0.63215235,0.6321645);

因为0.63215699区间[0.63215235,0.6321645)中,所以X10=3,l (10)=0.63215235,u(10)=0.6321645,该序列的第十个元素为a3

所以该序列为a3a2a2a1a2a1a3a2a2a3

 

posted on 2015-09-23 10:33  王朝琼  阅读(121)  评论(0编辑  收藏  举报