几何分布：从“等一个结果”开始

你有没有过这样的经历？

• 在游戏里抽卡，抽了多少次才终于出货？
• 站在路边等公交车，第几辆来的才是你要坐的那一路？
• 给客户打电话，打到第几个才终于接通？
• 刷短视频时，刷了多少条才刷到自己想看的内容？

这些场景背后，都藏着一个共同的概率模型——几何分布（Geometric Distribution）。

几何分布描述的是：在一次次独立的重复试验中，首次成功所需要的试验次数。

它的核心问题就是--“等到第一次成功，需要等多久？”

今天这篇文章，就用最通俗的方式带你搞懂几何分布，然后用 Python 把它用起来。

几何分布到底是什么？

一个最简单的例子

想象你正在玩一个抛硬币猜正反的游戏。你不断抛硬币，直到第一次出现正面就算赢。

• 第 1 次就抛到正面 → 成功（次数 = 1）
• 第 1 次反面、第 2 次正面 → 成功（次数 = 2）
• 前 2 次反面、第 3 次正面 → 成功（次数 = 3）
• ……一直下去

这里的“首次出现正面所需的抛掷次数”X，就服从几何分布。

几何分布有三个核心特征：

1. 每次试验只有两种结果：成功或失败
2. 每次试验成功的概率 p 是固定的
3. 你一直重复试验，直到第一次成功就停下来

概率怎么算？

如果每次试验成功的概率是 p，那么第 k 次试验才首次成功的概率是：

$ P(X = k) = (1 - p)^{(k-1)} × p $

怎么理解这个公式？

前 k-1 次全部失败，概率是$ (1-p)^{(k-1)} $；第 k 次终于成功了，概率是 p。

两者相乘，就是“前 k-1 次都失败、第 k 次成功”的概率。

两个重要性质

① 期望（平均需要多少次）

如果每次成功的概率是 p，那么平均需要 1/p 次才能首次成功。

比如抛硬币（p=0.5），平均抛 2 次就能首次出现正面。抽卡概率如果是 1%（p=0.01），平均需要抽 100 次才能出货——这就是所谓的“保底期望”。

② 无记忆性（最反直觉的性质）

这是几何分布最神奇的地方：你已经失败了多少次，不会改变下一次成功的概率。

举个例子：你已经连续抛了 10 次都是反面，那么下一次抛到正面的概率仍然是 50%——跟第一次抛的时候一模一样。

前面 10 次失败“不占额度”，也不增加下一次成功的概率。

这个性质在现实生活中其实不太“自然”——很多人会认为“都输了这么多次了，下次该赢了吧”，但几何分布告诉我们：不会。每一次都是全新的开始。

用 Python 计算几何分布

准备工作

首先安装并导入必要的库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geom

scipy.stats.geom 是 Python 中处理几何分布的核心工具。

概率质量函数（PMF）——算“恰好第 k 次成功”的概率

假设某款游戏的抽卡出 SSR 概率是 5%（p=0.05），你想知道恰好第 3 抽才出 SSR 的概率是多少？

p = 0.05
k = 3

# 恰好第 k 次才首次成功
prob = geom.pmf(k, p)
print(f"P(第 {k} 次才首次成功) = {prob:.4%}")

输出：

P(第 3 次才首次成功) = 4.5125%

验证一下公式：前 2 次失败$ （0.95）^2 $× 第 3 次成功（0.05）= 0.045125，完全吻合。

如果你想看前 20 次每次“恰好首次成功”的概率分布：

x = np.arange(1, 21)
pmf_values = geom.pmf(x, p)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.vlines(x, 0, pmf_values, colors='b', lw=2, alpha=0.7)
plt.scatter(x, pmf_values, color='red', s=30)
plt.xlabel('首次成功的试验次数 (k)')
plt.ylabel('概率')
plt.title(f'几何分布 PMF (p={p})')
plt.show()

你会看到：次数越靠后，概率越小——因为要“连续失败很多次”本身就越难发生。

累积分布函数（CDF）——“前 k 次内成功的概率”

更常见的问题是：“抽 10 次之内能出 SSR 的概率是多少？”

这时候用 CDF（累积分布函数）：

p = 0.05
k = 10

# 10 次以内（含第 10 次）首次成功的概率
prob_within_10 = geom.cdf(k, p)
print(f"P(前 {k} 次内首次成功) = {prob_within_10:.4%}")

输出：

P(前 10 次内首次成功) = 40.1263%

也就是说，只有 40% 的玩家能在 10 抽以内出货，剩下 60% 的人要等 10 抽以后。

生存函数（SF）——“超过 k 次还没成功的概率”

反过来问：“抽了 10 次还没出 SSR 的概率是多少？”

# 超过 10 次还没成功
prob_over_10 = geom.sf(k, p)  # 等价于 1 - geom.cdf(k, p)
print(f"P(超过 {k} 次还没成功) = {prob_over_10:.4%}")

输出：

P(超过 10 次还没成功) = 59.8737%

这不就是“非酋”的概率吗？将近 60% 的人抽 10 次都出不了货——是不是突然觉得合理多了？

期望值——平均需要多少次？

mean = geom.mean(p)
print(f"平均需要 {mean:.1f} 次才能首次成功")

输出：

平均需要 20.0 次才能首次成功

5% 的概率，平均 20 次出货——期望值 = 1/p。

随机模拟——生成一批“首次成功次数”

用 geom.rvs() 可以模拟大量玩家的“首次成功所需次数”：

# 模拟 10000 名玩家，每人抽到 SSR 就停
samples = geom.rvs(p, size=10000)

print(f"模拟平均值: {np.mean(samples):.2f}")
print(f"模拟方差: {np.var(samples):.2f}")

# 绘制直方图
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.hist(samples, bins=range(1, 60), edgecolor='black', alpha=0.7)
plt.xlabel('首次成功所需次数')
plt.ylabel('人数')
plt.title(f'10000 名玩家首次抽到 SSR 的次数分布 (p={p})')
plt.show()

输出（每次运行略有不同）：

模拟平均值: 19.98
模拟方差: 379.45

你会发现大部分玩家集中在 1-20 次之间，但也有少数“非酋”超过 50 次甚至 100 次才出货——这就是几何分布的“长尾”特征。

生活中的几何分布

场景一：游戏抽卡（上面已经算过了）

出卡概率 5%，抽到出为止。你可以用几何分布回答：

• 第 3 抽就出的概率是多少？（PMF）
• 10 抽以内出的概率是多少？（CDF）
• 平均要抽多少次？（期望）

场景二：等公交车

假设某路公交车平均每 10 分钟一班，但具体到达时间随机。你可以把“每一分钟”看作一次试验，车来的概率是 1/10 = 0.1。

那么：

• 恰好第 8 分钟车来的概率是多少？→ geom.pmf(8, 0.1)
• 15 分钟以内能等到车的概率是多少？→ geom.cdf(15, 0.1)
• 平均要等多久？→ 1/0.1 = 10 分钟

场景三：电话销售

你是一名电话销售，每次通话的成交概率是 8%（p=0.08）。

• 打到第 5 个电话才成交的概率？→ geom.pmf(5, 0.08)
• 打 20 个电话以内能成交的概率？→ geom.cdf(20, 0.08)
• 平均要打多少个电话才能成一单？→ 1/0.08 = 12.5 个

场景四：投飞镖

你向靶心投飞镖，每次命中靶心的概率是 17%。

• 第 6 次投掷才首次命中的概率？→ geom.pmf(6, 0.17)
• 5 次以内命中的概率？→ geom.cdf(5, 0.17)

完整代码

把上面所有的代码整理在一起，方便你直接运行：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import geom

# ============ 基础参数 ============
p = 0.05  # 单次成功概率

# ============ PMF：恰好第 k 次成功 ============
k = 3
print(f"P(第 {k} 次才首次成功) = {geom.pmf(k, p):.4%}")

# ============ CDF：k 次以内成功 ============
k = 10
print(f"P(前 {k} 次内首次成功) = {geom.cdf(k, p):.4%}")

# ============ SF：超过 k 次还没成功 ============
print(f"P(超过 {k} 次还没成功) = {geom.sf(k, p):.4%}")

# ============ 期望和方差 ============
print(f"期望（平均次数）= {geom.mean(p):.1f}")
print(f"方差 = {geom.var(p):.2f}")

# ============ 可视化 PMF ============
x = np.arange(1, 21)
pmf_values = geom.pmf(x, p)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.vlines(x, 0, pmf_values, colors='b', lw=2, alpha=0.7)
plt.scatter(x, pmf_values, color='red', s=30)
plt.xlabel('首次成功的试验次数 (k)')
plt.ylabel('概率')
plt.title(f'几何分布 PMF (p={p})')
plt.show()

# ============ 随机模拟 ============
samples = geom.rvs(p, size=10000)
print(f"模拟平均值: {np.mean(samples):.2f}")
print(f"模拟方差: {np.var(samples):.2f}")

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.hist(samples, bins=range(1, 60), edgecolor='black', alpha=0.7)
plt.xlabel('首次成功所需次数')
plt.ylabel('人数')
plt.title(f'10000 次模拟的首次成功次数分布 (p={p})')
plt.show()

总结

你想知道的问题	用什么函数	代码示例
恰好第 k 次才首次成功	geom.pmf(k, p)	geom.pmf(3, 0.05)
k 次以内（含）首次成功	geom.cdf(k, p)	geom.cdf(10, 0.05)
超过 k 次还没成功	geom.sf(k, p)	geom.sf(10, 0.05)
平均需要多少次	geom.mean(p)	geom.mean(0.05)
模拟一批“首次成功次数”	geom.rvs(p, size=n)	geom.rvs(0.05, size=1000)

几何分布的核心就三句话：

1. 它回答的是：“等到第一次成功，需要等多久？”
2. 概率公式：$ P(X=k) = (1-p)^{(k-1)} × p $
3. 平均等待时间：1/p 次

下次当你在游戏里抽卡、在路边等车、或者刷短视频等一个“想看的内容”时，不妨想一想——你现在经历的，可能正是一个几何分布的现实样本。

而有了 Python 和 scipy.stats.geom，你可以把这种“等待”变成精确的计算，让自己对生活中的不确定性多一分掌控感。