Atcoders [ARC147D] Sets Scores

AT_arc147_d [ARC147D] Sets Scores

组合意义好。

考虑得分的组合意义。我们从 \(1\) 到 \(n\) 依次从包含这个数的集合中选择一个，方案数即为得分。

对这个东西做组合意义。考虑对某一个固定的选取的集合的序列，统计有多少满足要求整数集合序列。这样的选取的集合的序列有 \(n^m\) 个。

我们发现，对称差中恰好有 \(1\) 个元素等价于序列中除第一个集合，之后每一个集合和前一个相差且仅相差一个元素。也就是说，利用第一个集合和 \(n-1\) 个元素，我们就可以唯一确定这个整数集合序列，形成双射。

考虑对第一个集合和 \(n-1\) 个元素计数。选取的集合的序列本质上是要求某个集合中存在某一个元素。注意到，如果 \(n-1\) 个元素已经确定，我们可以使用第一个集合满足所有性质，因为在第一个集合中所有元素互不影响，且此时第一个集合是唯一确定的。

因此，方案数即为 \(n-1\) 个元素任意选择，方案数为 \(m^{n-1}\)。利用乘法原理，最后的答案为 \(n^mm^{n-1}\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int mod=998244353;
int power(int a,int p)
{
	int x=a,ans=1;
	while(p)
	   {
	   	if(p&1)ans=1ll*ans*x%mod;
	   	p>>=1;
	   	x=1ll*x*x%mod;
	   }
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("%lld\n",1ll*power(n,m)*power(m,n-1)%mod);
	return 0;
}