Luogu P10102 [GDKOI2023 提高组] 矩阵 题解

P10102 [GDKOI2023 提高组] 矩阵

模拟赛题，场切了，似乎做法和全世界都不一样。

直接暴力矩阵乘法显然过不去，也没有什么前途。注意到只需要判定是否相等，考虑矩阵每一行的和。假设现在正在计算第 \(i\) 项的和。

\[\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n A_{i,k}B_{k,j} \]

交换枚举顺序，不难得到如下式子。

\[\sum_{k=1}^n A_{i,k}\sum_{j=1}^n B_{k,j} \]

我们发现，\(\sum_{j=1}^n B_{k,j}\) 其实就是 \(B\) 中第 \(k\) 行的数的和，预处理之后每一行就只需要枚举 \(k\) 就可以计算。总时间复杂度就达到了 \(O(n^2)\)。

我们判断算出来每行的和与 \(C\) 中每行的和是否相等即可。但是由于取模，有可能会出现冲突，所以我们再把每一列都判断一下。可以类比哈希，这么做出错概率极低。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,n,a[3001][3001],b[3001][3001],c[3001][3001],ha[3001],hb[3001],hc[3001],la[3001],lb[3001],lc[3001];
const long long mod=998244353;
inline long long read()
{
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	   {
	   	n=read();
	   	for(int i=1;i<=n;i++)ha[i]=hb[i]=hc[i]=la[i]=lb[i]=lc[i]=0;
	   	for(int i=1;i<=n;i++)
	   	    for(int j=1;j<=n;j++)
	   	        a[i][j]=read(),ha[i]=(ha[i]+a[i][j])%mod,la[j]=(la[j]+a[i][j])%mod;
	   	for(int i=1;i<=n;i++)
	   	    for(int j=1;j<=n;j++)
	   	        b[i][j]=read(),hb[i]=(hb[i]+b[i][j])%mod,lb[j]=(lb[j]+b[i][j])%mod;
	   	for(int i=1;i<=n;i++)
	   	    for(int j=1;j<=n;j++)
	   	        c[i][j]=read(),hc[i]=(hc[i]+c[i][j])%mod,lc[j]=(lc[j]+c[i][j])%mod;
	   	bool flag=0;
	    for(int i=1;i<=n;i++)
	        {
	        long long sum=0;
	        for(int k=1;k<=n;k++)sum=(sum+a[i][k]*hb[k]%mod)%mod;
	        if(sum!=hc[i])
	           {
	           	flag=1;
	           	break;
			   }
	        }
	    if(!flag)
	       for(int i=1;i<=n;i++)
	        {
	        long long sum=0;
	        for(int k=1;k<=n;k++)sum=(sum+b[k][i]*la[k]%mod)%mod;
	        if(sum!=lc[i])
	           {
	           	flag=1;
	           	break;
			   }
	        }
	    if(flag)printf("No\n");
	    else printf("Yes\n");
	   }
	return 0;
}