【6*】差分约束系统学习笔记
前言
此类知识点大纲中并未涉及，所以【6】是我自己的估计，后带星号表示估计，仅供参考。
差分约束系统属于图论建模，有一定的思维难度，而且比较绕，同时题目中的隐含条件也非常多，是一个比较难的知识点。
差分约束
给出一组包含 \(m\) 个不等式，有 \(n\) 个未知数的形如：
的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解（或 \(x_i-x_j\) 的最大值）。
变形得到：
此时，\(x_i\) 最大可以取 \(x_{i'}+y_i\) ，于是可以把这个看作一条 \(i'\to i\) ，边权为 \(y_i\) 的有向边，这样边上存储的就是 \(i'\to i\) 的最大差值。这样建成一张有向图后，每条 \(i\to j\) 的路径就是 \(x_i\) 与 \(x_j\) 的在一个不等式组中的最大差值。根据不等式“同小取小”的原则，\(x_{i}\) 与 \(x_j\) 的最大差值就是 \(i\to j\) 的最短路径，可以直接使用SPFA求解。
一个差分约束系统会有 \(3\) 种情况：
\(1\) ：有负环，证明没有最小值，该差分约束系统无解。
\(2\) ：在没有负环的情况下，点 \(i\) 和点 \(j\) 不连通，之间没有约束，该差分约束系统有无数解。
\(3\) ：无负环的连通图，有解。
不等式的统一见例题 \(2\) 。
差分约束例题
例题 \(1\) ：
差分约束模板题，可以建立一个“超级源点”，跑出一组差量直接输出即可。
或者看看 零碎知识点整理 的图论 \(1.5\) 。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[10050];
int m,n,c,d,k,h[5010],dis[5010],tol[5010],que[800010],book[5010],head=1,tail=0,cnt=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis<dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=n+1)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
add_edge(0,i,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=99999999;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(d,c,k);
}
if(spfa(0))printf("NO\n");
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
例题 \(2\) ：
三种情况换算一下就是这样的：
\(1\) ：\(a-b\ge c\)
两边同时除以 \(-1\) ，得 \(b-a\le -c\) 。
\(2\) ：\(a-b\le c\)
\(3\) ：\(a=b\)
可以化为 \(a-b\le0\) 且 \(a-b\ge0\) ，再选择一个不等式反转就行。
建立一个差分约束系统，在“超级源点”处跑一边SPFA。如果有负环，证明没有最小值，该差分约束系统无解，输出 No ，否则输出 Yes 。
注意一下两点：
\(1\) ：SPFA的队列数组一定要足够长。
\(2\) ：由于添加了一个“超级源点”，每个点的最多入队次数是 \(n+1\) 次。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[20050];
int m,n,c,d,k,h[10010],dis[10010],tol[10010],que[16000010],book[10010],head=1,tail=0,cnt=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis<dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=n+1)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
add_edge(0,i,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=99999999;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int op=0;
scanf("%d",&op);
if(op==1)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(c,d,-k);
}
else if(op==2)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
add_edge(d,c,k);
}
else if(op==3)
{
scanf("%d%d",&c,&d);
add_edge(d,c,0);
add_edge(c,d,0);
}
}
if(spfa(0))printf("No\n");
else printf("Yes\n");
return 0;
}
差分约束扩展
给出一组包含 \(m\) 个不等式，有 \(n\) 个未知数的形如：
的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解（或 \(x_i-x_j\) 的最小值）。
变形得到：
此时，\(x_i\) 最小可以取 \(x_{i'}+y_i\) ，于是可以把这个看作一条 \(i'\to i\) ，边权为 \(y_i\) 的有向边，这样边上存储的就是 \(i'\to i\) 的最小差值。这样建成一张有向图后，每条 \(i\to j\) 的路径就是 \(x_i\) 与 \(x_j\) 的在一个不等式组中的最小差值。根据不等式“同大取大”的原则，\(x_{i}\) 与 \(x_j\) 的最小差值就是 \(i\to j\) 的最长路径，可以直接使用SPFA或拓扑排序求解。
差分约束扩展例题
例题 \(3\) ：
由于本题涉及到区间计数，自然联想到前缀和。又因为题目要求最小化取的数字的个数，那么就是要化出带 \(\ge\) 的式子。
设 \(s_i\) 为前 \(i\) 项的前缀和（选择的数字个数），那么对于区间 \([a,b]\) 中至少取任意互不相同的 \(c\) 个整数，则根据前缀和思想，转化为：
同时，这题有两个隐含条件：
\(1\) ：\(s_i-s_{i-1}\ge0\)
后面的前缀和一定比前面大，因为数字要么选，要么不选，是一个 \(+0\) 或 \(+1\) 的变化，前缀和在这里只增不减。
\(2\) ：\(s_i-s_{i-1}\le1\)
因为每个数字只能选择一次，所以对于每个位置，前缀和每次最多只能增加 \(1\) 。
变形后得到：\(s_{i-1}-s_i\ge-1\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int t,next,dis;
}e[800050];
int t,n,md,c,d,k,h[50010],dis[50010],tol[50010],que[21000010],book[50010],head=1,tail=0,cnt=0,maxn=0;
void add_edge(int u,int v,int dis)
{
e[++cnt].next=h[u];
e[cnt].t=v;
e[cnt].dis=dis;
h[u]=cnt;
}
bool spfa(int s)
{
que[++tail]=s;
book[s]=1;
while(head<=tail)
{
int now=que[head];
book[que[head]]=0;
for(int i=h[now];i;i=e[i].next)
{
int t=e[i].t;
if(dis[now]+e[i].dis>dis[t])
{
dis[t]=dis[now]+e[i].dis;
if(!book[t])que[++tail]=t,tol[t]++,book[t]=1;
}
if(tol[t]>=maxn)return 1;
}
head++;
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(h,0,sizeof(h));memset(tol,0,sizeof(tol));memset(book,0,sizeof(book));
head=1;tail=0;cnt=0;maxn=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&c,&d,&k);
maxn=max(c,maxn);maxn=max(d,maxn);
add_edge(c-1,d,k);
}
for(int i=1;i<=maxn;i++)
dis[i]=-1;
dis[0]=0;
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
add_edge(i-1,i,0);
add_edge(i,i-1,-1);
}
spfa(0);
printf("%d\n",dis[maxn]);
if(t)printf("\n");
}
return 0;
}
后记
弄了一句口诀，方便记忆：
最大小于最短路，最小大于最长路。
浙公网安备 33010602011771号