载波调制信号的非相干检测

载波调制信号\(\{s_{m}(t),1\le m\le M\}\)是带通信号，其等效低通为\(\{s_{ml}(t),1\le m \le M\}\)，这里

\[s_{m}(t) = \text{Re}[s_{ml}(t)e^{j2\pi f_{c}t}]\tag{1} \]

AWGN信道模型一般为

\[r(t)=s_{m}(t-t_{d})+n(t)\tag{2} \]

式中，\(t_{d}\)表示发射机与接收机时钟之间不同步的随机时间。那么接收随机过程\(r(t)\)是三个随机现象的函数：消息m（以概率\(P_{m}\)选择），随机变量\(t_{d}\)以及随机过程\(n(t)\)。

结合(1),(2)式可得

\[r(t)=\text{Re}[s_{ml}(t-t_{d})e^{j2\pi f_{c}(t-t_{d})}]+n(t)=\text{Re}[s_{ml}(t-t_{d})e^{-j2\pi f_{c}t_{d}}e^{j2\pi f_{c}t}]+n(t)\tag{3} \]

所以，\(s_{m}(t-t_{d})\)的等效低通等于\(s_{ml}(t-t_{d})e^{-j2\pi f_{c}t_{d}}\)。实际上，\(t_{d}\ll T_{s}\)，其中\(T_{s}\)为符号持续时间。这意味着时移\(t_{d}\)对\(s_{ml}(t)\)的影响可以忽略不计。然而，\(e^{-j2\pi f_{c}t_{d}}\)项可能引入大的相移\(\phi=-2\pi f_{c}t_{d}\)，因为即使很小的\(t_{d}\)值乘以一个大的载波频率\(f_{c}\)，也会导致可观的相移。可将该\(\phi\)建模为在0和\(2\pi\)之间均匀分布的随机变量。在这种假设条件下的信道模型和信号检测称为非相干检测(Noncoherent Detection)。

由上述讨论可断定，在非相干情况下，

\[\text{Re}[r_{1}(t)e^{j2\pi f_{c}t}]=\text{Re}\left[\big(e^{j\phi }s_{ml}(t)+n_{1}(t)\big)e^{j2\pi f_{c}t}\right]\tag{4} \]

或，基带形式

\[r_{l}(t)=e^{j\phi }s_{ml}(t)+n_{1}(t)\tag{5} \]

低通噪声过程\(n_{l}(t)\)是环的，且其统计特性与任何旋转无关；因此可以不用考虑相位旋转对噪声分量的影响。在相位相干情况下，接收机知道\(\phi\)并对其进行补偿，等效低通信道具有如下属性的形式

\[r_{l}(t)=s_{ml}(t)+n_{l}(t) \]

在非相干情况下，式(5)的等效矢量形式为

\[\bold{r_{l}}=e^{j\phi}\bold{s_{ml}} + \bold{n_{l}}\tag{6} \]

为设计(6)式的基带矢量信道的最佳检测器，采用非相干检测中(3)式确定的最佳检测器的一般公式，可以得到：

\[\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p_{\bold{n_{l}}}(\bold{r_{l}}-e^{j\phi}\bold{s_{ml}})d\phi\tag{7} \]

\(n_{l}(t)\)为复基带随机过程，其功率谱密度在[-W,W]频段为\(2N_{0}\)。该过程在标准正交基上的投影是复iid、均值为零，方差为\(2N_{0}\)的高斯分量（实分量和虚分量的方差分别为\(N_{0}\)）。所以，可得$$\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}\frac{1}{(4\pi N_{0})^{N}} \int_{0}^{2\pi} e^{-\frac{|| \bold{r_{l}}-e^{j\phi} \bold{s_{ml}} ||^{2}}{4N_{0}}}d\phi\tag{8}$$

展开指数，舍去与\(m\)无关的项，并注意\(||\bold{s_{ml}}||^{2}=2\mathcal{E}\)，可以得到

\[\begin{aligned} \hat{m} &= \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}e^{-\frac{\mathcal{E}_{m}}{2N_{0}}}\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{1}{2N_{0}}\text{Re}[\bold{r_{l}\cdot }e^{j\phi}\bold{s_{ml}}]}d\phi\\ &= \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}e^{-\frac{\mathcal{E}_{m}}{2N_{0}}}\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{1}{2N_{0}}\text{Re}[(\bold{r_{l}\cdot s_{ml})}e^{j\phi}]}d\phi\\ &= \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}e^{-\frac{\mathcal{E}_{m}}{2N_{0}}}\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{1}{2N_{0}}\text{Re}[|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}|}e^{j(\phi+\theta)}]}d\phi\\ &= \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}e^{-\frac{\mathcal{E}_{m}}{2N_{0}}}\int_{0}^{2\pi}e^{\frac{1}{2N_{0}}|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}|}\cos{(\phi+\theta)}}d\phi\\ \end{aligned} \tag{9} \]

式中，\(\theta\)表示\(\bold{r_{l}\cdot s_{ml}}\)的相位。注意式(9)中的被积函数是以\(2\pi\)为周期的\(\phi\)的周期函数，在一个完整的周期上积分，所以\(\theta\)对该间隔没有影响。

根据第一类零阶修正贝塞尔函数的表达式

\[\bold{I_{0}}(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{x\cos\phi}d\phi \]

可以得到

\[\hat{m} = \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\frac{P_{m}}{2\pi}e^{-\frac{\mathcal{E}_{m}}{2N_{0}}}I_{0}\left(\frac{|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}|}}{2N_{0}}\right)\tag{10} \]

一般情况下，(10)式确定的判决规则不能更简单。然而，在等概和等能量的情况下，可以不考虑\(P_{m}\)和\(\mathcal{E}_{m}\)项，最佳检测规则变为

\[\hat{m} = \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}I_{0}\left(\frac{|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}|}}{2N_{0}}\right)\tag{11} \]

由于当\(x>0\)时，\(I_{0}(x)\)是\(x\)的增函数，在这种情况下判决规则简化为

\[\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}|\bold{r_{l}\cdot s_{ml}}|\tag{12} \]

由(12)式可见，最佳非相干解调器首先利用其非同步本地振荡器解调接收信号，得到等效低通接收信号\(r_{l}(t)\)。然后，将\(r_{l}(t)\)与所有\(s_{ml}(t)\)进行相关运算，在选择绝对值（或包络）最大者。该检测器称为包络检测器。

注意，式(12)也可以表示为

\[\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left|\int_{-\infty}^{\infty}r_{l}(t)s_{ml}^{*}(t)dt\right|\tag{13} \]

图(1)所示为包络检测器的方框图。

图1：包络检测器的方框图