非相干检测

在相干接收机中，假设接收机能够获得信号\(\{s_{m}(t),1\le m\le M\}\)，然后接收机利用信号本身的形式或标准正交基\(\{\phi_{j}(t),1\le j \le N\}\)的形式与接收信号进行相关运算。在许多通信系统中，这种假设都是有效的，但也有许多情况不能做这样的假设，如：
1）信道对信号传输引入随机变化，如随机衰减或随机相移；
2）接收机没有信号的完备的知识，这种情况出现在接收机与发送机同步不理想。这种情况下，虽然接收机知道\(\{s_{m}(t)\}\)的一般形状，由于其与发送机同步不理想，只能利用\(\{s_{m}(t-t_{d})\}\)的形式，其中\(t_{d}\)表示发送机与接收机时钟之间的时移，这种时移可建模为随机变量。

考虑在AWGN信道上传输的信号集具有随即参数，记为随机矢量\(\bold{\theta}\)。假定发送信号\(\{s_{m}(t),1\le m\le M\}\)，接收信号可表示为

\[r(t)=s_{m}(t;\bold{\theta})+n(t)\tag{1} \]

利用K-L(Karhunen-Loeve)展开式定理，可以求得随机过程\(s_{m}(t;\bold{\theta})\)展开式的标准正交基，再将同样的标准正交基用于高斯白噪声过程的展开式。利用该基函数，(1)式的波形信道对应的矢量信道为

\[\bold{r=s_{m,\theta}+n}\tag{2} \]

此时，最佳接收规则为

\[\begin{aligned} \bold{\hat{s}_{m}}&=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}P_{m}p(\bold{r|s_{m}})\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}P_{m}\int p(\bold{r|s_{m},\theta})p(\bold{\theta})d\bold{\theta}\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}P_{m}\int p_{\bold{n}}(\bold{r-s_{m,\theta}})p(\bold{\theta})d\bold{\theta} \end{aligned}\tag{3} \]

根据(3)式的最佳判决规则，可得到最小错误概率为

\[P_{e}=\sum_{m=1}^{M}P_{m}\int _{D_{m}^{c}}\left(\int p_{\bold{n}}(\bold{r-s_{m,\theta}})p(\bold{\theta})d\bold{\theta}\right)d\bold{r}\tag{4} \]

式(3),(4)是一般化的形式，可以用作所有类型的信道参数不确定性。

双极性二进制信号传输系统的信号\(s_{1}(t)=s(t), s_{2}(t)=-s(t)\)等概率，AWGN信道的噪声功率谱密度为\(N_{0}/2\)，该信道引入非负值的随机增益A。换言之，该信道不能改变信号的极性，该信道可建模为

\[r(t) = As_{m}(t)+n(t) \]

式中，A是PDF为\(P(A)\)的随即增益，当\(A<0\)时\(P(A)=0\)。\(s_{1}(t)\)的最佳判决域为

\[D_{1}=\left\{r:\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{(r-A\sqrt{\mathcal{E}_{b}})^{2}}{N_{0}}}p(A)dA>\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{(r+A\sqrt{\mathcal{E}_{b}})^{2}}{N_{0}}}p(A)dA\right\} \]

可简化为

\[D_{1}=\left\{r:\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{A^{2}\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\left(e^{\frac{2rA\sqrt{\mathcal{E}_{b}}}{N_{0}}}-e^{-\frac{2rA\sqrt{\mathcal{E}_{b}}}{N_{0}}}\right)p(A)dA>0\right\} \]

由于A只能取正值，当且仅当\(r>0\)时括号内的表达式为正值。所以：

\[D_{1}={r:r>0} \]

计算错误概率，得到

\[\begin{aligned} P_{b}&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}}e^{-\frac{(r+A\sqrt{\mathcal{E}_{b}})^{2}}{N_{0}}}dr\right)p(A)dA\\ &=\int_{0}^{\infty}Q\left(A\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)p(A)dA\\ &=E\left[Q\left(A\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}}\right)\right] \end{aligned}\]