动态规划-01背包-完全背包

背包问题

多阶段动态规划问题

有一类动态规划可解的问题,它可以描述称为若干有序的阶段,且每个阶段的状态只和上一个阶段的状态有关,一般把这类问题称为多阶段规划问题。

01 背包问题

01背包问题描述如下:

有 n 件物品,每件物品的重量为 w[i],价值为 c[i]。现有一个容量为 V 的背包,问如何选取物品放入背包,使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品都只有一件。

例子:
5 8 // 5 件物品, 容量为 8

3 5 1 2 2 // w[i] 重量

4 5 2 1 3 // c[i] 价值

如果采取暴力搜索的方法,每件物品都有两种选择,因此 n 件物品就有 2n,而O( 2n) 的时间复杂度完全是不能接受的。而使用动态规划可以将复杂度将为 O(nV)。

dp[i][v]表示前 i 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。那怎么求解 dp[i][v] 呢?

考虑第 i 件物品的选择策略,有两种策略:

  • 不放第 i 件物品,那么转化为前 i - 1 件物品恰好装入容量为 v 背包中所能获得的最大价值, dp[i-1][v]
  • 放第 i 件物品,那么问题转换为前 i - 1 件物品恰好装入容量为 v - w[i] 的背包中所能获得的最大价值,也就是 dp[i-1][v-w[i]] + c[i]

由于只有这两种策略,所以状态转移方程为

dp[i][v] = max{ dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]] + c[i] }

由于 dp[i][v] 只与之前的状态 dp[i-1][] 有关,所以可以枚举 i 从 1 到 n,v 从 0 到 V,通过边界 dp[0][v] = 0(即前 0 件物品放入任何容量 v 的背包中都只能获得价值 0)就可以把整个 dp 数组递推出来。而 dp[i][v] 表示的恰好为 v 的情况,所以需要枚举 dp[n][v] 取其最大值。

因此可以写出代码:

for(int i = 1; i <= n; i++) {
  // 装第 i 件物品
  for(int v = w[i]; v <= V; v++) {
    dp[i][v] = max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]] + c[i]);
  }
}

时间复杂度和空间复杂度都是 O(nV),时间复杂度不能再优化,但空间复杂度还可以优化。

注意到状态转移方程中计算 dp[i][v] 总是需要 dp[i-1][v] 左侧部分的数据(即正上方和左上方的数据),且当计算 dp[i+1][] 时,dp[i-1] 的数据又用不到了(只需要用 dp[i][]),所以我们可以直接开一个一维数组dp[v]!枚举方向从 1 到 n,v 从 V 到 0 (逆序),这样,状态转移方程为:

dp[v] = max{ dp[v], dp[v-w[i]] + c[i] }

可以这样理解,dp[i][v] 左上角的数据和 dp[i][v] 右边的数据放在同一个数组里面,每次计算出一个 dp[i][v] ,将相当于把 dp[i-1][v] 覆盖掉,因为之后的计算不需要再用到了。我们把这种技巧称为 滚动数组

代码如下:

for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int v = V; v >= w[i]; v--) {
    dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
  }
}

这样就可以用一维数组解决了,空间复杂度为 O(V)。

特别说明: 如果用二维数组存放,v 的枚举顺序是顺序还是逆序无所谓,如果用到一维数组,v 的枚举就必须是逆序!

完整求解 01 背包代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdint>
using namespace std;

const int maxn = 1010;

int C, N;   // 最大报销钱数,菜品数量
int V[maxn], P[maxn];   // 菜的评价分数,菜的价格
int dp[maxn];   // dp数组

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main()
{
    freopen("data.txt","r", stdin);
    while (scanf("%d%d", &C, &N) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {   // 菜的价格,菜的评价
            scanf("%d%d", &P[i], &V[i]);    
        }
        fill(dp, dp + maxn, 0); // 初始化为 0
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {   // 枚举菜品
            for (int v = C; v >= P[i]; v--)
            {
                dp[v] = max(dp[v], dp[v-P[i]] + V[i]);
            } 
        }
        printf("%d\n", dp[C]);
    }
    return 0;
}

/*
    Author: Veeupup
    点菜问题,01 背包

    input:
        90 4
        20 25
        30 20
        40 50
        10 18
        40 2
        25 30
        10 8

    output:
        95
        38
 */

01 背包中的每个物品都可以看作一个阶段,这个阶段的状态有 dp[i][0] ~ dp[i][V],它们均由上一个阶段的状态得到。事实上,对于能够划分阶段的问题来说,都可以尝试把阶段作为状态的一维,这可以方便的得到满足无后效性的的状态。如果当前的设计不满足无后效性,那么不妨把状态进行升维,即增加一维或若干维来表示相应的信息,这样可能就满足无后效性了。

完全背包问题

完全背包问题描述如下:

有 n 中物品,每种物品的单件重量为 w[i],价值为 c[i]。现在有一个容量为 V 的背包,问如何选取物品放入背包,使得背包内物品的总价值最大。每件物品都有无穷件。

和 01 背包唯一不同的地方就在于物品有了无数件,同样使用动态规划:
设置一个二维数组,dp[i][v]表示前 i 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。数组 dp[n][m] 的值就是完全背包问题的解。

和 0-1 背包一样,只考虑第 i 件物品时,可将情况分为是否放入第 i 件物品两种情况:

  • 不放第 i 件物品,dp[i][v] = dp[i-1][v]
  • 放第 i 件物品,由于放了第 i 件物品之后还是可以接着放,所以转移到 dp[i][j-w[i]],,即 dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i]

所以状态转移方程为 :

dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][v-w[i]] + c[i] }

边界: dp[0][v] = 0

其实唯一的区别就在于 max 的第二个参数换成了 dp[i] 而不是 dp[i-1],所以同样可以写成一维形式:

dp[v] = max{ dp[v], dp[v-w[i]] + c[i] }

写成一维形式之后和 01 背包完全相同,唯一的区别在于此处是 正向枚举,而 01 背包中的一维形式必须是 逆向枚举,完全背包的一维形式代码如下:

for(int i = 1; i <= n; i++) {
  for(int v = w[i]; v <= V; v++) {
    dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
  }
}

正向枚举是因为求解 dp[i][v] 总是需要它左边的 dp[i][v-w[i]] 和它上方的 dp[i-1][v],显然如果 v 从小到大枚举,dp[i][v-w[i]] 就总是计算出的结果,而计算出 dp[i][v] 之后就再也用不到 dp[i-1][v] 了,所以必须正向枚举。

完全背包代码如下:

/*
    Author: Veeupup
    点菜问题,01 背包

    input:
        90 4
        20 25
        30 20
        40 50
        10 18
        40 2
        25 30
        10 8

    output:
        95
        38

 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdint>
using namespace std;

const int maxn = 1010;

int C, N;   // 最大报销钱数,菜品数量
int V[maxn], P[maxn];   // 菜的评价分数,菜的价格
int dp[maxn];   // dp数组

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main()
{
    freopen("data.txt","r", stdin);
    while (scanf("%d%d", &C, &N) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {   // 菜的价格,菜的评价
            scanf("%d%d", &P[i], &V[i]);    
        }
        fill(dp, dp + maxn, 0); // 初始化为 0
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {   // 枚举菜品
            for (int v = p[i]; v <= C; v++)
            {
                dp[v] = max(dp[v], dp[v-P[i]] + V[i]);
            } 
        }
        printf("%d\n", dp[C]);
    }
    return 0;
}

搞懂 01 这些经典的动态规划问题,就能够理解动态规划的意义所在了。

posted @ 2020-03-23 10:54  南风sa  阅读(58)  评论(0编辑  收藏