CF540E Infinite Inversions 题解

在无限长的数轴上，每次交换两个数，求最后逆序对数量。

观察到最终有很多 \([l,r]\) 的连续段，且段的数量是 \(\Theta(n)\) 的，考虑计算贡献。

先建立类似珂朵莉树的结构，将原数轴划分为许多段。

然后从左到右扫描每一个段，考虑逆序对的贡献。

如果当前的段是一个单点，此前的单点贡献当且仅当 \(a_j>a_i\)，一个区间贡献当且仅当 \([l,r]\) 满足 \(l>a_i\)。因为 \(r>a_i\) 必然没有贡献，而 \(l \le a_i \le r\) 说明这个区间被分割开了，矛盾！

如果当前段是一个区间，此前的区间一定不会有贡献，那么单点有贡献当且仅当 \(a_i >l\)，因为 \(a_i>r\) 一定没贡献，\(l\le a_i \le r\) 说明区间被分割，矛盾！

于是一个区间的段可以看成 \(r-l+1\) 个 值为 \(l\) 的点。

用树状数组求逆序对即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define umap unordered_map
#define vint vector<int>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define ull unsigned long long
#define uint unsigned int
#define rg register
#define il inline
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int read()
{
    int w=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        w=(w<<1)+(w<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return w*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

const int N=1e6+10;
struct odt
{
    struct node
    {
        int l,r;
        mutable int v;
        node(int l=0,int r=0,int v=0):l(l),r(r),v(v){}
        bool operator <(const node &b)const
        {
            return l<b.l;
        }
    };
    set<node> S;
    auto split(int pos)
    {
        auto it=S.lower_bound(pos);
        if(it!=S.end()&&it->l==pos) return it;
        --it;
        int l=it->l,r=it->r;
        S.erase(it);
        S.insert(node(l,pos-1,l));
        return S.insert(node(pos,r,pos)).first;
    }
    auto get(int x)
    {
        auto it=split(x);
        int l=it->l,r=it->r;
        if(l==r) return it;
        S.erase(it);
        S.insert(node(x+1,r,x+1));
        return S.insert(node(x,x,x)).first;
    }
}t;
int xi[N<<2],cntx;int n;
struct bit
{
    int tr[N<<4];
    int lowbit(int x)
    {
        return x&-x;
    }
    void add(int x,int k)
    {
        for(;x<=cntx;x+=lowbit(x)) tr[x]+=k;
    }
    int query(int x)
    {
        int res=0;
        for(;x>0;x-=lowbit(x)) res+=tr[x];
        return res;
    }
    int query(int l,int r)
    {
        return query(r)-query(l-1);
    }
}tr;

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    cin>>n;
    t.S.insert(odt::node(1,1e9+1,1));
    for(int i=1,a,b;i<=n;++i)
    {
        a=read(),b=read();
        auto it1=t.get(a),it2=t.get(b);
        swap(it1->v,it2->v);
    }
    // cerr<<1<<endl;
    // cout<<t.S.size()<<endl;
    for(auto i:t.S)
    {
        // cout<<i.l<<" "<<i.r<<" "<<i.v<<endl;
        xi[++cntx]=i.v,xi[++cntx]=i.l,xi[++cntx]=i.r;
    }
    sort(xi+1,xi+cntx+1);
    cntx=unique(xi+1,xi+cntx+1)-xi-1;
    int ans=0;
    
    for(auto i:t.S)
    {
        int val=lower_bound(xi+1,xi+cntx+1,i.v)-xi;
        // cerr<<val<<endl;
        tr.add(val,i.r-i.l+1);
        ans+=tr.query(val+1,cntx)*(i.r-i.l+1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    fprintf(stderr,"%f\n",1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC);
    #endif
    return 0;
}