P2447 [SDOI2010] 外星千足虫 题解
@
[SDOI2010] 外星千足虫
题目描述
公元 \(2333\) 年 \(2\) 月 \(3\) 日，在经历了 \(17\) 年零 \(3\) 个月的漫长旅行后，“格纳格鲁一号”载人火箭返回舱终于安全着陆。此枚火箭由美国国家航空航天局（NASA）研制发射，行经火星、金星、土卫六、木卫二、谷神星、“张衡星”等 \(23\) 颗太阳系星球，并最终在小行星“杰森星”探寻到了地外生命。宇航员在“杰森星”地表岩层下 \(45.70\) 米位置发现一批珍贵的活体生命样本，并将其带回检测。
在带回的活体样本中，最吸引人的当属这些来自外星的千足虫了。这些虫子身躯纤长，身体分为若干节。受到触碰时，会将身体卷曲成圆环形，间隔一段时间后才会复原活动。
有趣的还不止如此。研究人员发现，这些虫子的足并不像地球千足虫成对出现、总共偶数条——它们每节身体下方都有着不定数量的足，但足的总数一定是奇数条！
虽然从外观难以区分二者，但通过统计足的数目，科学家们就能根据奇偶性判断出千足虫所属的星球。
作为 J 国派去 NASA 的秘密间谍，你希望参加这次研究活动以掌握进一步的情报，而 NASA 选拔的研究人员都是最优秀的科学家。于是 NASA 局长 Charles Bolden 出了一道难题来检测你的实力：
现在你面前摆有 \(1\ldots N\) 编号的 \(N\) 只千足虫，你的任务是鉴定每只虫子所属的星球，但不允许亲自去数它们的足。
Charles 每次会在这 \(N\) 只千足虫中选定若干只放入“昆虫点足机”（the Insect Feet Counter, IFC）中，“点足机”会自动统计出其内所有昆虫足数之和。Charles 会将这个和数 \(\bmod\) \(2\) 的结果反馈给你，同时告诉你一开始放入机器中的是哪几只虫子。
他的这种统计操作总共进行 \(M\) 次，而你应当尽早得出鉴定结果。
假如在第 \(K\) 次统计结束后，现有数据就足以确定每只虫子的身份，你就还应将这个 \(K\) 反馈给 Charles，此时若 \(K<M\)，则表明那后 \(M-K\) 次统计并非必须的。
如果根据所有 \(M\) 次统计数据还是无法确定每只虫子身份，你也要跟 Charles 讲明：就目前数据会存在多个解。
输入格式
第一行是两个正整数 \(N,M\)。
接下来 \(M\) 行，按顺序给出 Charles 这 \(M\) 次使用“点足机”的统计结果。每行包含一个 \(01\) 串和一个数字，用一个空格隔开。\(01\) 串按位依次表示每只虫子是否被放入机器：如果第 \(i\) 个字符是 \(0\) 则代表编号为 \(i\) 的虫子未被放入，\(1\) 则代表已被放入。后面跟的数字是统计的昆虫足数 \(\bmod\) \(2\) 的结果。
由于 NASA 的实验机器精确无误，保证前后数据不会自相矛盾。即给定数据一定有解。
输出格式
在给定数据存在唯一解时有 \(N+1\) 行，第一行输出一个不超过 \(M\) 的正整数 \(K\)，表明在第 \(K\) 次统计结束后就可以确定唯一解；接下来N行依次回答每只千足虫的身份，若是奇数条足则输出 ?y7M#（火星文），偶数条足输出 Earth。
如果输入数据存在多解，输出 Cannot Determine。
样例 #1
样例输入 #1
3 5
011 1
110 1
101 0
111 1
010 1
样例输出 #1
4
Earth
?y7M#
Earth
样例 #2
样例输入 #2
5 7
01100 1
11000 1
10100 0
11100 1
00011 1
00000 0
11111 0
样例输出 #2
Cannot Determine
提示
评分标准
对于每一个测试点，如果你的输出文件与答案文件完全相同，该测试点得满分。
否则，对于存在唯一解的测试点，如果你正确回答所有千足虫的身份，将得到 \(50\%\) 的分数；
其他情况，该测试点得零分。
数据规模和约定
对于 \(20\%\) 的数据，满足 \(N=M\leq 20\)；
对于 \(40\%\) 的数据，满足 \(N=M\leq 500\)；
对于 \(70\%\) 的数据，满足 \(N\leq500\)，\(M\leq 10^3\)；
对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\leq N\leq 10^3\)，\(1\leq M\leq 2\times 10^3\)。
题目分析
前置芝士：高斯消元
如果不会可以看看这篇文章：数学-高斯消元
首先观察到本题的方程式在模 \(2\) 意义下进行的，所以考虑令地球千足虫的足的总数为 \(0\)，外星千足虫的足的总数为 \(1\)。
因为若 \(x \equiv 1 \pmod 2\)，则 \(x + 2n \equiv 1 \pmod 2\)，其中 \(n\) 为正整数。与 \(0\) 同余也成立。
于是将问题转化为求解下列方程组
在模 \(2\) 意义下，上面的操作跟异或运算是等价的，即 \((a \bmod 2 + b \bmod 2) \bmod 2 = a \operatorname{xor} b\)，读者可以将 \(0,1\) 分别代入验证，这里不再赘述。
于是问题转化为求
调用普通的高斯消元求解异或线性方程组即可求解出问题 \(2\) 的答案。
而对于问题 \(1\)，由于题目保证数据不会出现冲突，那么如果我们用到第 \(k\) 个方程，那么前 \(k\) 个方程都不会存在冲突，于是在寻找主元时，第 \(1\) 个主元的行所在的最大行编号便是答案。
如果消元时存在主元为 \(0\) 的情况，即有多解，输出 \(\text{Cannot Determine}\) 即可。
代码实现
朴素解法
最普通的高斯消元，时间复杂度 \(O(n^2 m)\)，最坏情况下无法通过此题。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bitset>
using namespace std;
const int maxm = 2e3 + 5;
const int maxn = 1e3 + 5;
int a[maxm][maxm];
int ans[maxn];
int n, m;
int tot = -1;
void gauss()
{
//row 行 col 列
int row = 1, col = 1;
for (col = 1; col <= n; ++col)
{
int t = row;
for (int i = row; i <= m; i++)
{
if (a[i][col])
{
t = i;
break;
}
}
if (!a[t][col])
{
puts("Cannot Determine");
exit(0);
}
tot = max(tot, t);
swap(a[row], a[t]);
for (int i = row + 1; i <= m; i++)
{
if (!a[i][col]) continue;
for (int j = n + 1; j >= col; j--)
{
a[i][j] = a[i][j] ^ a[row][j];
}
}
++row;
}
cout << tot << endl;
for (int i = n; i >= 1; i--)
{
ans[i] = a[i][n + 1];
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
{
if (a[i][j]) ans[i] ^= ans[j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << (ans[i] ? "?y7M#" : "Earth") << endl;
}
return;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define LOCAL
//freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
cin >> n >> m;
for (int i = 1, x; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
char y;
cin >> y;
a[i][j] = y - '0';
}
scanf("%d", &x);
a[i][n + 1] = x;
}
gauss();
#ifdef LOCAL
fprintf(stderr, "%f\n", 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return 0;
}
bitset 优化
由于是异或方程组，可以使用 bitset 优化，时间复杂度 \(O(\frac{n^2 m}{\omega})\) ，其中 \(\omega = 32\)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bitset>
using namespace std;
const int maxm = 2e3 + 5;
const int maxn = 1e3 + 5;
bitset<maxm> a[maxm];
int ans[maxn];
int n, m;
int tot = -1;
void gauss()
{
//row 行 col 列
int row = 1, col = 1;
for (col = 1; col <= n; ++col)
{
int t = row;
for (int i = row; i <= m; i++)
{
if (a[i].test(col))
{
t = i;
break;
}
}
if (!a[t].test(col))
{
puts("Cannot Determine");
exit(0);
}
tot = max(tot, t);
swap(a[row], a[t]);
for (int i = row + 1; i <= m; i++)
{
if (!a[i].test(col)) continue;
a[i] ^= a[row];
}
++row;
}
cout << tot << endl;
for (int i = n; i >= 1; i--)
{
ans[i] = a[i].test(n + 1);
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
{
if (a[i].test(j)) ans[i] ^= ans[j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << (ans[i] ? "?y7M#" : "Earth") << endl;
}
return;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define LOCAL
//freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
cin >> n >> m;
char ch;
for (int i = 1, x; i <= m; i++)
{
ch = getchar();
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
ch = getchar();
a[i].set(j, ch - '0');
}
scanf("%d", &x);
a[i].set(n + 1, x);
}
gauss();
#ifdef LOCAL
fprintf(stderr, "%f\n", 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号