【物】浅谈悬链线、最速降线和它们在高中的“下放”

等长轻绳，全部绷直，小球完全相同，\(\theta=30^\circ\)，求各个绳子上的张力。

丙午年七月初七，清风徐来，水波不兴，月影澄明，风移影动，珊珊可爱。吾与数竞大蛇四人行于学发之上。一勤思者云：“既有良辰美景如此，何不辩论今日已毕之功课哉？吾尝终日而思矣，若令球之数加之以一颗、二颗乃至万颗，则绳之形者，【抛物线】也。是之言固可信乎？” 随行有知者，对曰：“子玩原神乎！其谓【悬链线】者，虽以微分之术难以究其根本，区区小人安能以学堂之算术致大学之大道哉！” 又有一黄口小儿和之：“竖子不足与谋！”其人头红耳赤，亦免冠徒跣，以头抢地尔。

余固哂之而不信也。事不目见耳闻，而臆断其有无，可乎？

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这就是理科班过七夕的方式。我们和这个节日最直接的关联是，周二考试的时候，我们的数学科代做题神游想到第二天是七夕，联想到自己仍然单身，又猛然想到 “对数单身狗”，于是灵光乍现瞬秒了周测 16 题。

言归正传。上面那个题简单整体分析即可解决，把最下面的 \(x\) 个球（编号 \(n-x+1\sim n\)）拎出来：

立刻得出：

\[\large \begin{cases}\tan \alpha=\frac x{n\tan \theta}&\bold ①\\ F=G\sqrt{\frac {x^2}{n^2}+\tan \theta}\end{cases} \]

绳长全部相同，那么整个图形都是可求的。现在的问题是，如果小球有无限个，整个系统就变成了单根连续的、负载均衡的绳子，对其上的每个质点施以上述分析，理论上可以得到这根绳的下垂形状，求这个图形。

这就是悬链线问题。令绳总长为 \(1\)，把 ① 中的 \(\frac xn\) 替换为质点到右边界这段绳长，记作 \(x\)：

\[\tan \alpha=\frac x{\tan\theta} \]

把绳子抽象成一个函数图像，则这一式子的直观理解：图像斜率与图线长度呈线性关系。形式如下：

\[y'=a\int_0^x \sqrt{1+(y')^2}\;dx \]

\(\int \sqrt{1+(y')^2}\) 就是求图线长度的，微元法然后施以勾股。解得（怎么解的别管）：

\[y=a\cosh\left(\frac xa\right) \]

其中

\[\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2 \]

就是某次数学周测让我们证明和差角公式的双曲余弦函数。

关于这个微分方程的解法、悬链线的应用、它对双曲三角函数研究的推动作用等等问题，这里不便展开。

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这一问题解决的时间点是 1690。瑞士当时有一对数学家兄弟：雅各布·伯努利 和约翰·伯努利，哥哥雅各布公开提出这个问题后，弟弟正是采用上述方法得到的解答，用时不到一周。彼时牛顿和莱布尼茨已经创立微积分学（1685前后），得到上面这个方程的解自然不是什么难事。

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最速降线和悬链线，并称两大最著名的 “自然极值” 曲线。话说我们高一做过这么一个题：

原始出处为 13 年广东理综 T11，后来不断被引用。本题 D 选项十分雷霆，即使存在 “两条轨道长度相等” 这一条件仍然很难把道理说清楚；又因为 A 选项的 “切向加速度” 在课本上没定义，所以这题就看一乐呵，定性为课堂引入的常识题。

然而，当时不少人受 D 选项的引导（以及等时圆模型的思维惯式），认为 “仅在重力作用下从 A 到 B，耗时最短的路径” 是正常高中生能掌握的结论，有人原地开始手推，没记错的话被 wey 喝止了。

类似这样 “两点间多条路径速降” 的模型，上面的考察是不规范的，实际的考点要么是从能量角度比较到达 B 的末速度等等、要么给出 \(v-t\) 图变成动力学的平凡题：

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话虽如此，不妨了解下最速降线的结论。

话说约翰·伯努利 在解决悬链线问题的近七年后（1696），正式把最速降线问题挂到期刊上求解，同时自己也开始做。两个星期后，他给出了惊为天人的解法：采用光行最速原理 + 折射定律，把空间平行于重力方向分成无数层，把质点想象成光（天然走行用时最小的路径），在每一层的速度 \(v\) 和图线与竖直方向夹角 \(\theta\) 的 \(\sin\) 值成正比（经过每一层的折射导致），而 \(v^2\) 又和质点与 A 点的竖直距离 \(y\) 成正比（能量守恒），因此

\[\boxed{\sin \theta \propto \sqrt y} \]

对应的微分方程比上面的悬链线还要简单。结论是摆线（Cycloid，又称旋轮线）：

最速降线这个问题至少被牛顿、莱布尼兹、伯努利兄弟、罗比塔这五人分别独立解出来过，其中的趣闻轶事一直是物理学津津乐道的话题。最饶有趣味的部分，当属你牛爷爷嘴上说着 “不屑于接受外国佬的挑战”，实则独自通宵把这个题瞬秒了，且他的解法（本人没有记录，是学生根据后来交谈的转述）展现出了变分法最原始的思想。依旧不展开，感兴趣自行检索。

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把这俩物理模型放在一起记录，首先当然是因为最近恰好碰到了它们的高中弱化版。

其次，这俩模型的解决刚好都处于微积分作为学科刚刚起步、迈向发展的过渡期，它们能进一步帮助我们了解微分方程的实际应用。

但最有意思的，还是伯努利兄弟在两个问题间 “七年的学术竞赛” 这段历史。哥哥雅各布据传自己花了一年时间才把悬链线 干出来，被约翰老弟薄纱，后者还在文章中暗示自己的解法比哥哥更优美；雅各布自此一直感到不爽，在弟弟以 “写给哥哥的公开信” 的形式提出最速降线 问题时，他不使用光学模型，而是直面最原始的加速度定义，以截然不同的数学方法和弟弟叫板。最终约翰的解法出现在了如今的科普文章里，而雅各布的推导则为后来变分法的创立打下了基础。

科学家是如此，我们这帮学生又何尝不是呢？学理科的过程其实就是不断辱骂同学是傻逼、被同学攻击自己是傻逼，骂着骂着三年、六年、七年甚至十二年就过去了，慢慢地大家记住的就不是谁比谁更傻逼，而是每个人提出过什么有意思的问题、给大家带来过怎样的思考了。

这其实也就是你背诵科学史的意义。