进步与现代化

线性方程组

线性无关、系数矩阵行列式、解的情况

简化行阶梯型矩阵：主元全 \(1\)，所在行左侧全 \(0\)，所在列剩余全 \(0\)

生成子空间：\(\langle A\rangle\)，线性表出の所有向量

\(A\) 线性无关 \(\Longleftrightarrow\) 任意不被其它线性表出

\(A\) 中所有均被 \(B\) 线性表出，则 \(A\) 被 \(B\) 线性表出；互相线性表出 \(\Longleftrightarrow\) 等价

\(A\) 个数比 \(B\) 多，\(B\) 表出 \(A\rightarrow A\) 线性相关

秩（\(\operatorname{rank}A\)）：极大线性无关组大小 \(r\)，只有一个，任意 \(r\) 个无关者都可成极大无关组，相互等价

秩相等 \(+\) \(A\) 被 \(B\) 线性表出 \(\Longleftrightarrow\) 等价

基 \(B\)：\(B\subseteq U\)，子空间 \(U\) 全可被 \(B\) 表出，\(\dim U=|B|\)，维数，唯一，\(\dim \langle A\rangle=\operatorname{rank}A\)

行秩 \(=\) 列秩 \(=\) 矩阵の秩，初等变换不动，方阵定义满秩 \(\Longleftrightarrow||\ne 0\)

系数矩阵秩 \(=\) 增广矩阵秩 \(\Longleftrightarrow\) 有解；系数秩 \(=n\Longleftrightarrow\) 唯一解

\(\sum x_i\alpha_i=\overrightarrow{0}\)（齐次），解集 \(W\) 为 \(K^n\) 子空间（数乘/加法运算封闭），\(\dim W=n-\operatorname{rank}A\) 个线性无关解构成基础解系

\(\sum x_i\alpha_i=\beta\)（非齐次）导出组 as 齐次，解集 \(U=\gamma_0+\eta(\eta\in W)\)，\(W\) 型の线性流形，非线性空间