尺规作图：截取已知线段

一般的尺规作图要求「圆规不能固定」，即圆规的唯一作用是：以任一点为圆心，以任意距离为半径作圆。而初中数学中的「作一条线段等于已知线段」的作法中涉及圆规的「截取与平移」，这是不允许的。

本文介绍在一般的尺规作图中「截取已知线段」的三种方法。

问题：已知平面上一线段 \(AB\) 和一点 \(C\)，求作一点 \(D\) 使得 \(CD=AB\)。

方法一：通过等边三角形构造三角形全等。

关键方法：已知平面上一线段 \(AB\)，求作等边三角形 \(ABP\)：
以 \(A\) 为圆心，\(AB\) 为半径作圆。以 \(B\) 为圆心，\(AB\) 为半径作圆。两圆交点即为 \(P\)（不妨取上方的交点）。

对于原问题，同上方法作等边三角形 \(ACQ\)：

同上方法作等边三角形 \(PQD\) 即为所求。

方法二（《几何原本》第一卷，命题 \(\text{I.2}\)）：

作等边三角形 \(BCP\)：

作射线 \(PB,PC\)。以 \(B\) 为圆心，\(AB\) 为半径作圆。交射线 \(PB\) 于 \(Q\)：

以 \(P\) 为圆心，\(PQ\) 为半径作圆。交射线 \(PC\) 即为 \(D\)。

方法三：通过中垂线构造线段相等。

以 \(A\) 为圆心，\(AC\) 为半径作圆。以 \(C\) 为圆心，\(AC\) 为半径作圆。两圆交于 \(P,Q\)，作直线 \(PQ\)：

以 \(A\) 为圆心，\(AB\) 为半径作圆。交直线 \(PQ\) 即为 \(D\)。