任意 $n$ 个积为 $1$ 的正实数，证明其小数部分之和小于 $n-\frac{1}{2}$

引理一：对于任意 \(n\ (n\ge 1)\) 个 \((0,1)\) 间的实数 \(a_1,...,a_n\)，下式始终成立：

\[\sum_{i=1}^{n}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)}<n+\dfrac{1}{2} \]

证明：当 \(n=1\) 时，即证：

\[a_1+\dfrac{1}{a_1+1}<\dfrac{3}{2} \]

\[(2a_1+1)(a_1-1)<0 \]

显然成立。
假设 \(n=k\ (k\ge 1)\) 时成立，即

\[\sum_{i=1}^{k}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}<k+\dfrac{1}{2} \]

设 \(a_{k+1}\in(0,1)\)，则有：

\[\begin{align*} &\sum_{i=1}^{k}a_i+a_{k+1}+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k+1}(a_i+1)}\\ <&\sum_{i=1}^{k}a_i+a_{k+1}+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}\\ <&\sum_{i=1}^{k}a_i+1+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}\\ <&\ k+1+\dfrac{1}{2} \end{align*} \]

即 \(n=k+1\) 时成立。
故对 \(n\ge 1\) 均成立，证毕。

引理二：对于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 个积为 \(1\) 的正数 \(x_1>...>x_{n-1}>1>x_n>0\)，下式始终成立：

\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2} \]

证明：取 \(a_i=\{x_i\}\ (i=1,...,n-1)\)，由引理一：

\[\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+1)}<n-\dfrac{1}{2} \]

可得：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}\{x_i\}&=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+x_n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}x_i}\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+[x_i])}\\ &\le\sum_{i=1}^{n-1}a_i+\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n-1}(a_i+1)}\\ &<n-1+\dfrac{1}{2}=n-\dfrac{1}{2} \end{align*} \]

证毕。

引理三：对于任意 \(a,b\in(0,1)\)，\(ab+1>a+b\)。

证明：即证 \((a-1)(b-1)>0\)，显然成立。

引理四：对于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 个积为 \(1\) 的正数 \(x_1>...>x_{n-2}>1>x_{n-1}>x_n>0\)，下式始终成立：

\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2} \]

由 \(x_{n-1}x_n\in(0,1)\)，对 \(x_1,...,x_{n-2},x_{n-1}x_n\) 这 \(n-1\) 个数使用引理二，可得：

\[\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+\{x_{n-1}x_n\}<n-1-\dfrac{1}{2} \]

即

\[\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}x_n+1<n-\dfrac{1}{2} \]

对 \(x_{n-1},x_n\) 使用引理三：

\[\begin{align*} &\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}x_n+1\\ >&\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+x_{n-1}+x_n\\ =&\sum_{i=1}^{n-2}\{x_i\}+\{x_{n-1}\}+\{x_n\}\\ =&\sum_{i=1}^{n}\{x_i\} \end{align*} \]

所以

\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2} \]

证毕。

引理四的推广：对于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 个积为 \(1\) 的正数 \(x_1>...>x_{n-m}>1>x_{n-m+1}>...>x_n>0\)，下式始终成立：

\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2} \]

证明：不断对最后两项 \(x_{n-1},x_n\) 使用引理四即证。

原命题：对于任意 \(n\ (n\ge 2)\) 个积为 \(1\) 的正数 \(x_1,...,x_n\)，下式始终成立：

\[\sum_{i=1}^{n}\{x_i\}<n-\dfrac{1}{2} \]

证明：不妨设 \(x_i\ (i=1,...,n)\) 均不为 \(1\)，则其中必有若干项大于 \(1\)，其余项均小于 \(1\)。则由引理四的推广即证。