Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations 阅读笔记 (前置知识)
在进入对Littlewood-Paley理论的正式学习之前, 需要先了解一些基础的\(L^p\)空间的知识, 这又以实变函数论的课程为基础. 现在既然实变函数已经结课, 但\(L^p\)空间尚未开张, 就从周民强著《实变函数论》的第六章开始整理.
因为没有找到Markdown如何右对齐, 本系列中证明的开始与结束均用\(\blacklozenge\)作为标记.
\(L^p\)空间的定义与不等式
定义: \(L^p\)空间
设\(f(x)\)是\(E\subset\mathbb{R}^n\)上的可测函数, 记
\[\parallel f\parallel_p=(\int_E|f(x)|^pdx)^{\frac{1}{p}},\quad 0<p<+\infty \]用\(L^p(E)\)表示使\(\parallel f\parallel_p<+\infty\)的\(f\)的全体, 称其为\(L^p\)空间.
定义: 本性有界, 本性上确界
设\(f(x)\)是\(E\subset\mathbb{R}^n\)上的可测函数, \(m(E)>0\). 若存在\(M\), 使得\(|f(x)|\le M\), a.e. \(x\in E\), 则称\(f(x)\)在\(E\)上本性有界, \(M\)称为\(f(x)\)的本性上界. 再对一切本性上界取下确界, 记为\(\parallel f\parallel_{\infty}\), 称它为\(f(x)\)在\(E\)上的本性上确界, 此时用\(L^{\infty}(E)\)表示在\(E\)上本性有界的函数的全体.
可以证明
下述定理是一个基本事实.
定理: \(L^p\)空间是线性空间
若\(f,g\in L^p(E),0<p\le+\infty\), \(\alpha,\beta\)是实数, 则
\[\alpha f+\beta g\in L^p(E). \]
现在引入共轭指标来介绍\(L^p\)空间中常用的不等式.
定义: 共轭指标
若\(p,p'>1\), 且\(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\), 则称\(p\)与\(p'\)为共轭指标(数). 若\(p=1\), 规定共轭指标\(p'=\infty\); 若\(p=\infty\), 则规定共轭指标\(p'=1\).
定理: Holder不等式
设\(p\)与\(p'\)为共轭指标, 若\(f\in L^p(E),g\in L^{p'}(E)\), 则
\[\parallel fg\parallel_1\le\parallel f\parallel_p\parallel g\parallel_{p'},\quad1\le p\le\infty, \]即
\[\int_E|f(x)g(x)|dx\le(\int_E|f(x)|^pdx)^{\frac{1}{p}}(\int_E|g(x)|^{p'}dx)^{\frac{1}{p'}},\quad1<p<+\infty, \]以及
\[\begin{gathered} \int_E|f(x)g(x)|dx\le\parallel g\parallel_{\infty}\int_E|f(x)|dx,\quad p=1,\\ \int_E|f(x)g(x)|dx\le\parallel f\parallel_{\infty}\int_E|g(x)|dx,\quad p'=1. \end{gathered}\]
\(\blacklozenge\)
当\(p=1\)或\(+\infty\)时不等式显然成立, 当\(\parallel f\parallel_p=0\)或\(\parallel g\parallel_{p'}=0\)时, 出于\(f(x)g(x)=0\), a.e. \(x\in E\), 不等式也显然成立, 故下面讨论\(\parallel f\parallel_p>0,\parallel g\parallel_{p'}>0,p,p'<+\infty\)的情形.
考虑Young不等式:
令
可知
上式两端积分有
即得
\(\blacklozenge\)
定理: 反Holder不等式
设\(0<p<1,q<0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), 则对\(f\in L^p(E),g\in L^q(E)\), 有
\[\int_E|f(x)g(x)|dx\ge\parallel f\parallel_p\cdot\parallel g\parallel_q \]
\(\blacklozenge\)
不妨设\(fg\in L(E)\), 取\(\overline{p}=\frac{1}{p}>1,\overline{q}=\frac{1}{1-p}>1\), 则\(\frac{1}{\overline{p}}+\frac{1}{\overline{q}}=1\), 且
即得
\(\blacklozenge\)
定理: Minkowski不等式
若\(f,g\in L^p(E)(1\le p\le\infty)\), 则
\[\parallel f+g\parallel_p\le\parallel f\parallel_p+\parallel g\parallel_p \]
\(\blacklozenge\)
当\(p=1\)时上式用三角不等式即证, \(p=\infty\)时注意
得到
此即题式. 现在设\(1<p<+\infty\), 知
现在对上右式第一个积分考虑Holder不等式, 有:
同理对第二个积分有
代入得到
当\(\parallel f+g\parallel_p\ne0\)时, 此即
当\(\parallel f+g\parallel_p=0\)时, 命题自明.
\(\blacklozenge\)
定理: 反Minkowski不等式
设\(0<p<1\), 则对\(f,g\in L^p(E)\), 有
\[\parallel|f|+|g|\parallel_p\ge\parallel f\parallel_p+\parallel g\parallel_p. \]
\(\blacklozenge\)
当\(\parallel|f|+|g|\parallel_p=0\)时只能有\(\parallel f\parallel_p=\parallel g\parallel_p=0\), 此时结论显然. 下面设\(\parallel|f|+|g|\parallel_p>0\), 由反Holder不等式知
此即
\(\blacklozenge\)
\(L^p\)空间的结构
在Lebesgue积分中, 函数几乎处处相等可以导出它们的积分相等, 故在讨论\(L^p\)空间中的函数时, 把几乎处处相等的函数视作同一个元, 特别把几乎处处为零的函数的全体视作零元. 现在有下述定理.
定理: \(L^p(E)\)是赋范空间
对于\(f,g\in L^p(E)\), 定义
\[d(f,g)=\parallel f-g\parallel_p,\quad1\le p\le+\infty \]则\((L^p(E),d)\)是一个赋范空间.
\(\blacklozenge\)
逐一验证赋范空间的三个性质:
- 显见\(d(f,g)\ge0\), 且\(d(f,g)=\parallel f-g\parallel=0\Leftrightarrow f(x)=g(x)\), a.e.
- 显见\(\parallel f-g\parallel_p=\parallel g-f\parallel_p\Rightarrow d(f,g)=d(g,f)\).
- 根据Minkowski不等式, 知\[\parallel f-g\parallel_p=\parallel f-h+h-g\parallel_p\le\parallel f-h\parallel_p+\parallel g-h\parallel_p \]这便是\(d(f,g)\le d(f,h)+d(g,h)\).
\(\blacklozenge\)
在确定范数后即可定义基于该范数的极限.
定义: \(L^p(E)\)中的收敛
设\(f_k\in L^p(E)(k=1,2,\cdots)\). 若存在\(f\in L^p(E)\), 使得
\[\lim\limits_{k\rightarrow\infty}d(f_k,f)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\parallel f_k-f\parallel_p=0 \]则称\(\{f_k\}\)依\(L^p(E)\)的意义收敛于\(f\), \(\{f_k\}\)为\(L^p(E)\)中的收敛列, \(f\)为\(\{f_k\}\)在\(L^p(E)\)中的极限.
注意下述基本事实:
- 唯一性; 若\[\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\parallel f_k-f\parallel_p=0,\quad\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\parallel f_k-g\parallel_p=0 \]则\(f=g\)(即\(f(x)=g(x)\) a.e.);
- 若\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\parallel f_k-f\parallel_p=0\), 则\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\parallel f_k\parallel_p=\parallel f\parallel_p\).
定义: \(L^p(E)\)中的Cauchy列
设\(\{f_k\}\subset L^p(E)\), 则\(\lim\limits_{k,j\rightarrow\infty}\parallel f_k-f_j\parallel_p=0\), 则称\(\{f_k\}\)是\(L^p(E)\)中的Cauchy列.
在进入下一个定理之前, 先回顾关于函数收敛的两个定理.
定理: 依测度Cauchy列的收敛性
若\(\{f_k(x)\}\)是\(E\)上的依测度Cauchy列, 则在\(E\)上存在几乎处处有限的可测函数\(f(x)\), 使得\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\).
定理(Riesz)
若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x)\), 则存在子列\(\{f_{k_i}(x)\}\), 使得
\[\lim\limits_{i\rightarrow\infty}f_{k_i}(x)=f(x),\quad\text{a.e. }x\in E \]
\(\boldsymbol{\star}\)定理: \(L^p(E)\)的完备性
\(L^p(E)\)是完备的距离空间.
\(\blacklozenge\)
设\(1\le p<+\infty\), 若\(\{f_k\}\subset L^p(E)\)满足\(\lim\limits_{k,j\rightarrow\infty}\parallel f_j-f_k\parallel_p=0\), 则对任给的\(\sigma>0\), 取
得到
这说明
故\(\{f_k(x)\}\)是\(E\)上的依测度Cauchy列, 进而存在\(E\)上几乎处处有限的可测函数\(f(x)\), 使得\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛到\(f(x)\), 从而由Riesz定理知可以选出\(\{f_k(x)\}\)的子列\(\{f_{k_i}(x)\}\)使得
由Fatou引理知
故\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\int_E|f_k(x)-f(x)|^pdx=0\), 即
最后, 由\(\parallel f\parallel_p\le\parallel f-f_k\parallel_p+\parallel f_k\parallel_p\)知\(f\in L^p(E)\).
再设\(p=+\infty\), 若\(\{f_k\}\subset L^{\infty}(E)\)满足\(\lim\limits_{k,j\rightarrow\infty}\parallel f_k-f_j\parallel_{\infty}=0\), 根据本性上确界的定义知对任意一对自然数\(k,j\), 总有
故存在零测集\(Z\), 使得对于一切自然数\(k,j\), 有
进而根据Cauchy准则, 存在\(f(x)\)使得
现在对任给的\(\varepsilon\), 取自然数\(N\)使得
由于当\(k>N\)且\(x\in E\backslash Z\)时有
故当\(k>N\)时有\(\parallel f_k-f\parallel_{\infty}\le\varepsilon\), 显见\(f\in L^{\infty}(E)\), 进而
\(\blacklozenge\)
除开教材中的定理, 有一个例子需要额外关注, 下面以定理形式给出.
定理
若\(f\in L^r(E)\cap L^s(E)\), 且\(0<r<p<s\le\infty\), 同时
\[0<\lambda<1,\quad\frac{1}{p}=\frac{\lambda}{r}+\frac{1-\lambda}{s} \]则
\[\parallel f\parallel_p\le\parallel f\parallel_r^{\lambda}\cdot\parallel f\parallel_s^{1-\lambda}. \]
\(\blacklozenge\)
当\(r<s<\infty\)时, 有
当\(r<s=\infty\)时, 有
\(\blacklozenge\)
上述事实还说明, 当\(r<p<s\le\infty\)时, 有
特别地, 如果\(r=1,s=\infty\), 可知如果\(f\in L^1\cap L^{\infty}\), 则任取\(p\in(1,\infty)\), 总有\(f\in L^p\).
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