[代数]线性代数

\(1.\)向量\((vector)\)的定义及其性质

\((1).\)向量的定义：向量是线性空间的元素
注： 向量的本质是“满足线性运算规则的抽象点”
\((2).\)向量的描述
我们通常用一列数如\(\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]\)来表示一个向量.例如在二维平面中我们引入两条互相垂直的直线\(x,y\)，其交于一点，视为原点\(O\),而我们引入的向量\(\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]\)则表示从原点出发，指向点\((1,2)\)的向量
\((3).\)向量的运算律
①向量的加法：\(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a+c\\b+d\end{array}\right]\)
②向量的数乘:\(\lambda\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda a\\\lambda b\end{array}\right]\)
\((4).\)基与向量的线性组合
空间中一组基的严格定义:

\[\text {The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space} \]

\[向量空间的基，是一组线性无关且能够张成整个空间的向量 \]

①.现在我们在\(x,y\)两轴上各引入两个长度为\(1\)的向量\(\hat \imath,\hat \jmath\),可以发现，在二维平面上的任何向量均为\(\hat \imath,\hat \jmath\)通过缩放（数乘）和相加得到
于是我们称\(\hat \imath,\hat \jmath\)是在\(xy\)坐标轴上的基向量
②.如果我们改变基向量，我们可以通过不同的数来确定所有的向量，但对应关系会发生改变
每当我们用数字来描述向量时，它都依赖于我们使用的基
③.两个数乘向量的和被称为该向量的线性组合即\(a\vec v+b\vec w\)

\((5).\)向量张成的空间
①.定义:
所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合称为给定向量张成的空间
②.向量和点的关系:
当我们描述所有落在某一条直线上的向量时，如果我们用每个向量的终点代表向量，起点仍然为原点，则我们只需要描述这一条直线即可

例如：在三维空间中，两个不共线向量张成的空间是一个过原点的平面
③.线性相关
如果在一组向量中，至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则我们称这组向量线性相关，反之，则称其为线性无关