[数论]数论基础

$1.$基础数论

$(1).$ 带余除法

在小学三年级我们学习了带余除法，他的一般形式是

\[x\div y=z......w \]

也就是$x\times z+w=y$,于是我们引入同余方程

\[x \equiv w \pmod y \]

同余方程有以下性质
假设我们有$x \equiv p \pmod y ,t\equiv q \pmod y$
$(\text i).$$x+k\times y \equiv p\pmod y$
$(\text{ii}).$$x+k\times t\equiv p+k\times q\pmod y$
$(\text{iii}).$$x\times t\equiv p\times q \pmod y$
$(\text{iv}).$$x^n\equiv p^n\pmod y$
$(\text V).$若$ac\equiv bc \pmod y$则$a\equiv b\pmod {\frac{y}{gcd(y,c)}}$

$(2).$算数基本定理

\[\forall x\in N_*,x=\prod_{i=1}^{+\infty} {p_i^{\alpha_i}} \]

其中${p_1,p_2...p_i...}$为全部的质数，${\forall i\in \mathbb N+,\alpha_i\in \mathbb N}$

$(3).$剩余系

(i).完全剩余系：若集合$A={a_1,a_2...a_m}$满足$\forall i\neq j,a[i]\not\equiv a[j]\pmod m$则称$A$为模$m$意义下的一个完系
(ii)设 $m$ 为正整数。若一组整数 $a_1, a_2, \dots, a_s$ 满足以下三个条件，则称它们为模 $m$ 的一个简化剩余系（缩系）：
①$.\forall i\in[1,s],gcd(a_i,m)=1$
②$.\forall i\neq j,a[i]\not\equiv a[j]\pmod m$
③$. \forall x\in \mathbb Z,gcd(x,m)=1,\exists! i,a[i]\equiv x\pmod m$

$(4).$裴蜀定理（贝祖定理）

\[\forall a,b\in \mathbb Z,ab\neq 0,d=gcd(a,b),\exists x,y\in \mathbb Z使得ax+by=d \]

证明：考虑构造集合$A=\{ax+by\mid x,y\in\mathbb Z,ax+by>0\}$
$\because ab\neq 0$
$\therefore A\neq$∅
取其中最小元素设为$m,\therefore m=ax_0+by_0$
记$a=qm+r,a=q(ax_0+by_0)+r\therefore r=a(1-qx_0)-by_0$
若$r\neq 0\Rightarrow r \in A$
$\therefore r=0\Rightarrow m\mid a$同理可得$m\mid b$
$\therefore m\le d$
$d>0,\forall x,y,d\mid ax+by\therefore d\mid m\Rightarrow d\ge m$
所以有$d=m,x_0,y_0$ 即所求解

$(5).exgcd$

(iii).假如在递归的某一层，我们知道了下一层的解 $x_1,y_1$
则有$ay_1+b(x_1-\lfloor \frac ab\rfloor y_1)=c$所以有：
$\begin{cases} x = y_1 \\ y = x_1 - \lfloor a / b \rfloor \cdot y_1 \end{cases}$

$Code$

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){x=1,y=0;return ;}
	int w=0,z=0;
	exgcd(b,a%b,w,z);
	x=z;y=(w-(a/b)*z);
	return ;
}

$(6).$中国剩余定理$(CRT)$

$\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1} \\ x\equiv a_2\pmod {m_2} \\ ......\\ x\equiv a_k\pmod {m_k} \end{cases}$一定存在$x$使上述方程组成立，且在模$m_1\times m_2\cdots \times m_k$的意义下唯一

$(7).$ 欧拉函数

(i).定义：$n$的缩系中元素的个数，或如下

\[\varphi(n)=\#\{k\in\mathbb Z^+\mid 1\le k\le n,\gcd(k,n)=1\} \]

(ii).性质：
①$.$若$p$为质数，则$\varphi(p)=p-1$，且$\forall k\in N_*,\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
证明： 对于任意质数$p$有$\forall x<p,x\in N_*,gcd(p,x)=1(gcd(1,p)=1)$所以有$\varphi(p)=p-1$
对于$p^k$，$p^k$显然只有一个质因子$p$(由算术基本定理得)，所以与$p^k$不互质的数有$p,2p\dots p^k$共$p^{k-1}$个，所以

\[\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1} \]

②$.$若$gcd(a,b)=1$则$\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)$
证明：

\[引理1: 若x与ab互质，则x与a互质且x与b互质,反之亦然 \]

该引理的正确性显然

\[引理2:gcd(a,b)=1,则方程组\begin{cases} x\equiv \alpha \pmod a\\ x\equiv \beta \pmod b \\ \end{cases}的整数解在模ab意义下唯一且确定 \]

该引理即中国剩余定理的特殊形式
构造映射$f(\alpha,\beta)$,表示在$a$的缩系中的元素$\alpha$与$b$的缩系中元素$\beta$对应$ab$的缩系中的一个元素$f(\alpha,\beta)$
因为引理1，该元素$f(\alpha,\beta)$一定存在，因为引理2，该映射$f$是一个一一映射，所以得证

③$.$计算公式：若$n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$其中$p_i$为素数，则

\[\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^k(1-\frac1 {p_i}) \]

证明：$\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^k(1-\frac1 {p_i})=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)$显然有$\forall p_1,p_2,k_1,k_2,gcd(p_1^{k_1},p_2^{k_2})=1$
由性质2可得$\varphi(n)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{\alpha_i})$由性质1可得$\varphi(n)=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)$得证

$(8).$欧拉定理

\[若gcd(a,m)=1则，a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m \]

证明： 设$k_1,k_2,\dots k_{\varphi(m)}$为$m$的一个缩系,由于$gcd(a,m)=1$
$ak_1,ak_2\dots ak_{\varphi(m)}$也为$m$的一个缩系,所以有

\[\prod_{i=1}^{\varphi(m)}ak_i\equiv\prod_{i=1}^{\varphi(m)}k_i \pmod m\rightarrow a^{\varphi(m)}\prod_{i=1}^{\varphi(m)}k_i\equiv \prod_{i=1}^{\varphi(m)}k_i \pmod m \]

因为$gcd(\prod_{i=1}^{\varphi(m)} k_i,m)=1$，所以$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m$
证毕

$(9).$ 扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} {a^b}&\pmod m,b<\varphi(m)\\ a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)}&\pmod m,b>\varphi(m)\\ \end{cases} \]

证明：

\[引理1.1:如果\forall i\le n,x\equiv k\pmod {p_i^{\alpha_i}}则x\equiv k\pmod{\prod_{i=1}^np_i^{\alpha_i}} \]

\[引理1.2: 如果gcd(a,b)=1,a\mid c,b\mid c\Rightarrow ab\mid c \]

引理$1.2$证明：
我们记两个集合$A,B,C$分别表示$a,b,c$的素因子集,则$A\cap B=\varnothing,A,B\in C\Rightarrow A\cup B\in C$所以$a,b$的所有素因子均为$c$的素因子且有$c$上每个素因子次数均大于$a,b$上的，自然也大于$ab$上的所以$ab\mid c$
引理$1.1$证明
我们显然有$\forall i\le n,p_i^{\alpha_i}\mid(x-k)$于是依据引理$1.2$,$\prod p_i^{\alpha_i}\mid (x-k)\Rightarrow x\equiv k\pmod{\prod_{i=1}^np_i^{\alpha_i}}$
假设$m=\prod p_i^{\alpha_i}$，依据引理$1.1$我们只需证$\forall i,a^b\equiv a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod{p_i^{\alpha_i} }$
$Case1:gcd(a,p_i^{\alpha_i})=1$
此时有$a^{\varphi(p_i^{\alpha_i})}\equiv 1\pmod {p_i^{\alpha_i}}$而且$\varphi(p_i^{\alpha_i})\mid \varphi(m)$(欧拉函数的积性)$\Rightarrow a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{p_i^{\alpha_i}}$易证原式
$Case2:$此时有$p_i\mid a,\Rightarrow a=kp_i$依据欧拉函数的积性$\varphi(m)\ge\varphi(p_i^{\alpha_i})=p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}\ge\alpha_i$(求导可得)
所以我们有$b>\varphi(m)\ge\varphi(p_i^{\alpha_i})\ge\alpha_i$
$\therefore a^b=k^bp_i^b\because b>\alpha_i\therefore p_i^{\alpha_i}\mid a^b\Rightarrow a^b\equiv 0\pmod {p_i^{\alpha_i}}$
$b\mod\varphi(m)+\varphi(m)\ge\varphi(p_i^{\alpha_i})>\alpha_i,a^{b\mod \varphi(p_i^{\alpha_i})+\varphi(p_i^{\alpha_i})}\equiv 0\pmod {p_i^{\alpha_i}}$
原同余式得证
综上所述，$\forall i\le n$有$m=p_i^{\alpha_i}$成立，依据中国剩余定理及算数基本定理，扩展欧拉定理成立
证毕

$2.$素数筛

$(1).$目的:快速的筛出素数

$(2).O(n^2)$筛素数

定义法筛素数

void prime(int x){
    bool flag=1;
    for(int i=2;i<n;i++) if(x%i==0) flag=0;
    if(flag) cout<<"Yes";
    else cout<<"No";
}

$(3).O(n\sqrt n)$筛素数

假设$x$有因子$u$则必然存在$t$使得$t|x$且$u\times t=x$所以$min(u,t)\le \sqrt x$复杂度被降低为$O(n\sqrt n)$

void prime(int x){
    bool flag=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++) if(x%i==0) flag=0;
    if(flag) cout<<"Yes";
    else cout<<"No";
}

$(4).$埃氏筛

思想核心:素数的倍数是合数、
实现方式：引入数组$notprime[i]$,当考虑新数$x$ 时，若$notprime[x]=0$ 则$x$为素数，后将$x$的所有倍数标记为合数
正确性证明：$\forall x\in N,x=\ p_i^{\alpha_i}$其中$p_i$为质数，$\alpha_i\ge 0,\alpha_i \in N$且$\forall\alpha_i\neq 0,p_i\le x$所以如果$x$是合数，则它一定在之前被标记过，所以如果$notprime[x]=0，x$为质数

bool p[100000017]; int b[1000017],cnt;
void prime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!p[i]) cnt++,b[cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
		    if(i*b[j]>n) break;
		    p[i*b[j]]=1;
		    if(b[j]%i==0) break;
		}
	}
}

时间复杂度：$O(n\ln\ln n)$
证明：我们实际在将素数的所有倍数标记，对于任意素数$p$我们进行$\frac n p$次操作,所以时间复杂度为$\sum \frac n p=n\sum \frac1 p$依据梅滕斯第二定理，有$\sum \frac 1 p=\ln \ln n+M+O(\frac 1 {\ln n})$

\[\sum_{p \le n} \frac{n}{p} \sim n \ln\ln n \quad (n \to \infty) \]

$(5).$线性筛

即使埃氏筛的时间复杂度已经被优化到$\ln\ln n$但在$n$极大时（如$10^8$），效率仍然低下，于是我们考虑优化，注意到埃氏筛的某一个数可能被多次标记，所以线性筛的原理就是使每一个数只被筛一遍
原理：每一个合数只被其最小质因子筛一遍

const int N=100000017;
bitset<N> p; int b[N],cnt;
void prime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!p[i])cnt++,b[cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			if(i*b[j]>n) break;
			p[i*b[j]]=1;
			if(i%b[j]==0) break;
		}
	}
}

posted on 2026-06-29 14:57 Underthetwilight 阅读(10) 评论(0) 收藏举报

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\(1.\)基础数论

\((1).\) 带余除法

\((2).\)算数基本定理

\((3).\)剩余系

\((4).\)裴蜀定理（贝祖定理）

\((5).exgcd\)

\((6).\)中国剩余定理\((CRT)\)

\((7).\) 欧拉函数

\((8).\)欧拉定理

\((9).\) 扩展欧拉定理

证明：

\(2.\)素数筛

\((1).\)目的:快速的筛出素数

\((2).O(n^2)\)筛素数

\((3).O(n\sqrt n)\)筛素数

\((4).\)埃氏筛

\((5).\)线性筛

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