数学期望

1.数学期望的定义

如果离散型随机变量\(X\)的所有可能取值为\(x_1,x_2...x_n\)其出现的概率分别为\(p_1,p_2,...p_n\)那定义\(X\)的数学期望\(E(X)=\sum_i^n{x_ip_i}\)
注：如果一个随机变量的全部可能取值是有限个或可数无限个，那么这个随机变量就被称为离散型随机变量，上述的可数可理解为构造一个关于集合\(P\)和整数集\(N_*\)之间的双射\((Bijection)\),即一一映射

2.数学期望的性质

\((1).\) 常数的数学期望：\(\forall c \in R ,E(c)=c\)
\((2).\) 线性性
即\(E(\sum_i^n a_iX_i+c)=\sum_i^n a_iE(X_i)+c\)
注：该式实际表达了数学期望\(E(X)\)是一个线性函数
\((3).\) 独立变量的可乘性
对于两个独立变量\(X,Y\),有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
\((4).\) 函数的数学期望
\(E(f(X))=\sum E(f(x_i))p_i\)
\((5).\) 数学期望与其他量的关系
\((I)\) 方差：\(Var(X)=E[(X−E[X])^2]\)
\((II) Jenson\)不等式：若\(\phi\)为凸函数，则\(E(\phi(x))\ge\phi(E(x))\)

3.数学期望的意义

\((1).\)数学期望描述了随机变量的集中趋势
\((2).\)数学期望本质上是概率为权重的加权平均值，出现概率越高的结果，对期望值的影响（权重）就越大
例如：你参加一个游戏，\(50%\)概率赢\(100\)元，\(50%\)概率输\(50\)元。
\(E(X)=0.5×100+0.5×(−50)=25\) 元。
这并不意味着你玩一次能赢25元，而是如果你玩很多次，平均每次大约赚25元
\((3).\)数学期望代表在测试样本足够大时，你的平均结果趋近于期望值

4.例题

\(T1\) \(\color{black}P10500 Rainbow 的信号\)

题意简述： 从\(1\)~\(n\)中任选两个整数\(l,r(if~~l>r,swap(l,r))\),计算长度为\(n\)的数列\(P\)中从\(l\)到\(r\)所有数的\(ans\) , \(or\) , \(xor\) 和

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补充知识：
\(1.and\)运算的性质\(\forall x,x\neq 0,x\&1=x,x\&0=0,x\&y \le min(x,y)\)
\(2.or\)运算的性质\(\forall x,x\neq 0,x\|1=1,x\|0=x,x\|y\ge max(x,y)\)
\(3.xor\)运算的性质\(\forall x,x\neq 0,x\oplus 0=x, x\oplus x=0,x\oplus y=z\rightarrow y\oplus z=x\)

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分析：

\(Step\) \(1:\) 概率

先考虑若\(l=r\),选到的概率为\(p=\frac{1}{n}\times \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\)
如果\(l\neq r\)选到的概率为\(p=2\times\frac{1}{n}\times\frac{1}{n}=\frac{2}{n^2}\)
注：此处因为若\(l>r\)交换\(l,r\),故需乘\(2\)

\(Step\) \(2:\)期望

因为性质\((2)\),对于某个整数二进制下的第\(k\)位
，有\(E=2^k\times p\times x_i\)

\(Step\) \(3:and，or，xor\)

接下来分析 \(and\) , \(or\) , \(xor\)
\(And:\)考虑数列从\(l\)到\(r\)中的二进制下的第\(k\)位，一定如下列形式

根据与运算的性质，我们有\(\forall a,b\in[l,r],\exists i\in [a,b],s_i=0\rightarrow,s_a\&...s_b=0\)
因为跨过这两个\(0\)的序列贡献一定为\(0\)，于是我们只需要考虑两个\(0\)包裹着\(k\)个\(1\)的情况即可，此时\(l\neq r有(k-1)+(k-2)+...+0=\frac{1}{2}(k-1)k,l=r有k\)
所以\(E(X)=2^i(\frac{k(k-1)}{n^2}+\frac{k}{n^2})\),只需记录相邻两个\(0\)间的距离即可

\(Or:\)类似于\(And\),因为只要跨过一个\(1\),就有贡献为一，所以考虑有多少贡献为零的区间，与\(And\)同理，考虑被一包裹的\(0\)区间，记录两个一的间距即可

\(Xor:\) 异或的处理是本题的难点，我们先考虑异或的性质，我们有\(1\oplus 1=0,0\oplus 0=0,0\oplus1=0\)而且异或满足交换律，考虑统计\(1\)和\(0\)的个数,若共有