数学期望

1.数学期望的定义

如果离散型随机变量\(X\)的所有可能取值为\(x_1,x_2...x_n\)其出现的概率分别为\(p_1,p_2,...p_n\)那定义\(X\)的数学期望\(E(X)=\sum_i^n{x_ip_i}\)
注：如果一个随机变量的全部可能取值是有限个或可数无限个，那么这个随机变量就被称为离散型随机变量，上述的可数可理解为构造一个关于集合\(P\)和整数集\(N_*\)之间的双射\((Bijection)\),即一一映射

2.数学期望的性质

\((1).\) 常数的数学期望：\(\forall c \in R ,E(c)=c\)
\((2).\) 线性性
即\(E(\sum_i^n a_iX_i+c)=\sum_i^n a_iE(X_i)+c\)
注：该式实际表达了数学期望\(E(X)\)是一个线性函数
\((3).\) 独立变量的可乘性
对于两个独立变量\(X,Y\),有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
\((4).\) 函数的数学期望
\(E(f(X))=\sum E(f(x_i))p_i\)
\((5).\) 数学期望与其他量的关系
\((I)\) 方差：\(Var(X)=E[(X−E[X])^2]\)
\((II) Jenson\)不等式：若\(\phi\)为凸函数，则\(E(\phi(x))\ge\phi(E(x))\)

3.数学期望的意义

\((1).\)数学期望描述了随机变量的集中趋势
\((2).\)数学期望本质上是概率为权重的加权平均值，出现概率越高的结果，对期望值的影响（权重）就越大
例如：你参加一个游戏，\(50%\)概率赢\(100\)元，\(50%\)概率输\(50\)元。
\(E(X)=0.5×100+0.5×(−50)=25\) 元。
这并不意味着你玩一次能赢25元，而是如果你玩很多次，平均每次大约赚25元
\((3).\)数学期望代表在测试样本足够大时，你的平均结果趋近于期望值

4.例题

\((1)\) \(\color {black}{Luogu}\color{black}{P12122}\)