网络流刷题日记
网络瘤刷题日记
分咕线
最大流
- POJ 2455-Secret Milking Machine
- 网络流路径计数, 对每条边建一条容量为1的边, 跑最大流
- POJ 1149 PIGS: 规划最多的猪数
- 流量代表猪的个数
- JOJ 2453 Candy: 分配糖, 求能否使\(\forall i, \sum_{j=1}^n a_{ij}c_{ij} \ge b_i\)
- \(a_{ij}=1\)的糖任意分, 因此只考虑 \(a_{ij}=2\)
- 利用网络流求最多分出多少 \(a_{ij}=2\) 的糖
- 具体的, 对于糖 \(X_i\), 连\((S,X_i,1)\);对于孩子 \(Y_j\), 连\((Y_j,T,\left \lfloor \frac{b_i}2 \right \rfloor)\) ; 对于\(a_{ij}=2\), 连 \(X_i, Y_j, 1\)
- 若\(maxflow+n \ge \sum bi\), 则可行
- ZOJ 2760 How Many Shortest Path: 不相交最短路计数
- 求s-t最短路图, 然后直接最大流
- SGU 438 The Glorious Karlutka River: 动态图最大流.
- SPOJ 962 Intergalactic Map: 给定图与点 \(A,B,C\) , 求是否存在不相交路径 \(A \to B \to C\)
- 将\(B\) 点设为原点, \(A, C\) 为汇点, 跑最大流.
最小割
- ZOJ 2532 Internship: 求哪些边满足如果该边容量增大, 那么最大流增大.
- 求最大流, 然后在残余网络上从 \(s,t\) 分别dfs.
- 如果一条残余容量为0的边 \((u,v)\) 满足 \(s\) 能到达 \(u\) 且 \(v\) 能到达 \(t\), 那么它就是一个解.
- 判断最小割唯一性:
- 如果存在一个点 \(p\) 满足 \(s\) 不能到达它, 它也不能到达 \(t\), 那么它的入边和出边一定分别是一个最小割方案. 即最小割不唯一.
- SPOJ 839 Optimal Marks
spoj 839-Optimal Marks
费用流
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费用和流量平方成正比(或下凸函数):
- 对边权与流量差分
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HOJ 2739 The Chinese Postman Problem: 带权有向图上的中国邮路问题
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POJ 3680 Intervals: 区间k覆盖 (开区间)
- 离散化
- 对于带权值区间 \((l,r,v)\), 连边 \((l,r,1,v)\); 对于所有点, 连边 \((p,p+1,k,0)\), 其中起点连向第一个点, 最后一个点连向终点.
- 最大费用最大流即为答案
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luogu1251 餐巾计划问题
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BZOJ2597 WC2007剪刀石头布: 竞赛图, 其中一些边未定向, 定向最大化三元环个数.
- 发现三元非环一定有一个点出度为2, 可以唯一确定这个三元环
- 得到三元环个数: \(ans = \binom{n}{3} - \sum_{i=1}^n \binom{out_i}{2} = c - \sum_{i=1}^n out_i^2\), 其中c为只与 \(n\), \(m\) 有关的数.
- 只需最小化后者; 平方费用流即可.
