[模板] 积性函数 && 线性筛

积性函数

数论函数指的是定义在正整数集上的实或复函数.
积性函数指的是当 \((a,b)=1\) 时, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数.
完全积性函数指的是在任何情况下, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数.

常见的积性函数

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φ(n) －欧拉函数
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k一定
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
\(σ_k(n)\) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
- k=0: \(d(n)\)
- k=1: \(\sigma (n)\)
I(n) －不变的函数，定义为 I(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
\(Id_k(n)\) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
- k=0: \(I(n)\)
- k=1: \(Id(n)\)
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
\((\frac np)\) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）, 关于二次剩余

线性筛

对于一个积性函数, 我们往往可以利用线性筛 \(O(n)\) 求出1-n的函数值.

线性筛只需求出一下几个值:

1. \(f(1)\)
2. \(f(p)\) when \(p\) is prime
3. \(f(p*i)\) when \(p\) is min prime factor && \(p \nmid i\), then \(f(p*i) = f(p)*f(i)\)
4. \(f(p*i)\) when \(p\) is min prime factor && \(p \mid i\)

前三个的求值是显然的;
对于第四个, 大多数情况下, 这些函数都可以利用唯一分解得到表达式, 如\(\phi (n)\),\(\mu (n)\)等. 此时可以较容易求出第四个的递推式.

筛质数, \(\phi (n)\),\(\mu (n)\)的代码:

const int nsz=2e6+50;
ll bnd=2e6;

int nopr[nsz],pr[nsz],pp=0;
ll mu[nsz],phi[nsz];
void init(){
	nopr[1]=mu[1]=phi[1]=1;//a
	rep(i,2,bnd){
		if(nopr[i]==0)pr[++pp]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;//b
		rep(j,1,pp){
			if((ll)i*pr[j]>bnd)break;
			nopr[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j])mu[i*pr[j]]=-mu[i],phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]]; //c
			else{mu[i*pr[j]]=0,phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;} //d
		}
	}
}