bzoj4569-[Scoi2016]萌萌哒

Description

一个长度为n的大数，用S1S2S3...Sn表示，其中Si表示数的第i位,S1是数的最高位，告诉你一些限制条件，每个条件表示为四个数，l1，r1，l2，r2，即两个长度相同的区间，表示子串Sl1Sl1+1Sl1+2...Sr1与Sl2Sl2+1Sl2+2...Sr2完全相同。

比如n=6时，某限制条件l1=1，r1=3，l2=4，r2=6，那么123123，351351均满足条件，但是12012，131141不满足条件，前者数的长度不为6，后者第二位与第五位不同。

问满足以上所有条件的数有多少个。

Input

第一行两个数n和m，分别表示大数的长度，以及限制条件的个数。接下来m行，对于第i行,有4个数li1，ri1，li2
，ri2，分别表示该限制条件对应的两个区间。
1≤n≤10^{5，1≤m≤10}5，1≤li1,ri1,li2,ri2≤n；并且保证ri1-li1=ri2-li2。

Output

一个数，表示满足所有条件且长度为n的大数的个数，答案可能很大，因此输出答案模10^9+7的结果即可。

Sample Input

4 2

1 2 3 4

3 3 3 3

Sample Output

90

Solution

发现约束条
那么我们就有办法维护这个相等关系了,直接并查集维护复杂度O(n^2)，30pts get√，最后的答案为9*10^(num-1) num为并查集个数，因为最高位是不可以取零的

件等价于若干组 \(S_{l_{i1} + d} = S_{l_{i2} + d}\).
这样, 记录相等的组数\(cnt\), 那么

\[Ans = 9*10^{cnt-1} \]

可以用并查集维护, 时间复杂度 \(O(m*n*\alpha (n))\).

考虑每次都是一段连续的区间, 利用倍增优化:
fa[l][p]表示起点为p, 长度为l的区间的父亲,修改时分段修改;
最后查询时, 从\(l\) 合并到\(l-1\), 一直到0, fa[0][p]=p的就是它所在组的根, 计数即可.
时间复杂度 \(O(m*\log n*\alpha (n))\).

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define rep(i,l,r) for(register int i=(l);i<=(r);++i)
#define repdo(i,l,r) for(register int i=(l);i>=(r);--i)
#define il inline
typedef double db;
typedef long long ll;

//---------------------------------------
const int nsz=1e5+50,lnsz=25;
const ll nmod=1e9+7;
int n,m,ln,cnt;
int fa[lnsz][nsz];
void inituf(){rep(i,0,ln)rep(j,1,n)fa[i][j]=j;}
int getfa(int a,int l){return fa[l][a]==a?a:fa[l][a]=getfa(fa[l][a],l);}
void merge(int a,int b,int l){
	a=getfa(a,l),b=getfa(b,l);
	if(a!=b)fa[l][a]=b;
}
void p(){
	repdo(i,ln,0){
		printf("l=%d ",i);
		rep(j,1,n)printf("%d ",getfa(j,i));
		printf("\n");
	}
}
ll qp(ll a,ll b){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%nmod;
		b>>=1,a=a*a%nmod;
	}
	return res;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	cin>>n>>m;
	ln=22;
	int a,b,c,d;
	inituf();
	rep(i,1,m){
		cin>>a>>b>>c>>d;
		repdo(j,ln,0){
			if(a+(1<<j)-1<=b)merge(a,c,j),a+=(1<<j),c+=(1<<j);
		}
//		p();
	}
	repdo(i,ln,1){
		repdo(j,n-(1<<i)+1,1){
			merge(j,getfa(j,i),i-1);
			merge(j+(1<<(i-1)),getfa(j,i)+(1<<(i-1)),i-1);
		}
	}
	rep(i,1,n)if(getfa(i,0)==i)++cnt;
	cout<<9ll*qp(10,cnt-1)%nmod<<'\n';
	return 0;
}