浅谈长链剖分

先放一个图，懂重链剖分的都懂。

长链剖分，顾名思义，就是对于子树深度的最大值对树进行剖分。

具体地，就是找到所有以儿子为根的子树中深度最大的点为重儿子，然后跑重边优先遍历即可。

接下来介绍她有什么性质。

性质与证明

1. 一个节点 \(u\) 的 \(k\) 级祖先所在长链长度一定 \(\ge k\)

   证明：我们考虑 \(x\rightarrow fa[x]\) 这条边

   • 这条边是重边

     那么 \(mxdep[fa[x]]=mxdep[x]+1\) .

   • 这条边是轻边

     那么 \(mxdep[fa[x]]> mxdep[x]+1\)，不然的话这条边将是重边。

2. 从根节点到任意节点经过的轻边条数不超过 \(\sqrt{n}\)

   证明：我们从叶子节点开始考虑往上跳轻边（因为叶子节点一定是极端情况），设她的深度为 \(dep\)，则子树大小至少增加 \(dep+1\) .

   于是当我们走第一条轻边的时候，子树大小至少增加 \(1\) ，走第二条轻边的时候，子树大小至少增加 \(2\)（因为我们往上跳轻边时，当前点的所在的链长一定最长）……

   然后我们发现跳 \(k\) 步时，我们最少子树大小为 \(\sum_{i=1}^k i=\frac{k*(k-1)}{2}=n\)，所以 \(k\le \sqrt{n}\) .

3. 长链剖分优化 dp

   似乎会和 dsu on tree 一起用，而且 dp 应该有一维与深度有关！。就是说我们将重边直接继承，然后将轻边合并进去就行

   考虑证明这个东西复杂度 \(O(n)\) 正确性（因为我们通常是对于重链剖分中的重儿子来进行 dsu on tree ）：

   就是说所以轻链长+根所在的长链长度 \(= n\) .

   而合并只和该点子树的最大深度有关。所以复杂度是 \(O(n)\) 的。

应用

求树上 \(k\) 级祖先

长链剖分可以帮你做到初始化 \(O(n\log n)\)，查询 \(O(1)\) .

于是你可以类似倍增 lca 的思路求出 \(fa[x][i]\) 表示 \(x\) 往上跳 \(2^i\) 步的节点。

同时我们暴力的存下来每个链顶向上链长个节点，存下来每个链顶向下链长个节点（我们发现所有链长大小是 \(n\) ，所以这个vector存了 \(2n\) 个数，\(O(n)\) ）。

然后查询的时候直接 \(O(1)\) 求 \(t=\lfloor\log k\rfloor\) ，然后将 \(x\) 跳 \(2^t\) 步，然后根据性质1，所以我们要么向上要么向下总之一定能够找到 \(k\) 级祖先。