模拟退火(SA)详解

SA——优雅的暴力

1. 随机出一个答案：根据题目而变，但一般是随机出的，但是和简单的随机不同，这个答案一般是根据先有的解（注意，不一定是最优解，因为有一定概率我们接受了一个可能更接近最优答案的答案），在此基础随机出的

2. 确定接受新状态的概率：见下面代码

模拟退火算法进阶

1. 关于参数

模拟退火的参数基本上决定了代码的准确性，一般的， \(T_0\) 越高， \(T_k\) 越低（ \(T_k >0\) ），\(d\) 越接近 \(1\) ，模拟退火越准确， 但时间越长，建议在写模拟退火是要卡卡参数

2. 关于随机数

模拟退火的精髓就在随机数上，随机数的随机性，循环周期基本上决定了准确度，随机性差，循环周期短的很可能将模拟退火卡掉，建议参考这来优化随机数

3. 关于时间

   模拟退火是一个不太稳定的算法 （谁叫他随机），单次可能找不到最优解，一般的要多次运行，有一个 clock() 函数，返回程序运行时间，建议在不超时的情况下尽可能多跑

   一般的，可以这样while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<=0.8) SA();（进行模拟退火）;

4. 关于随机化种子

   srand((unsigned)time(0)) or srand((int)time(NULL))
   

5. 关于概率接受劣解概率

   \[ \triangle E表示新解-原解\\ P(\triangle E)=\begin{cases} 1 & 新解更优\\ e^{\frac{-\triangle E}{T}} & otherwise \end{cases} \]

模板快餐

void SA()
{
	double T = 2000;//初始温度
	while(T > 1e-10)//退出温度
	{
      	随机生成一个新解
		T *= 0.987;//降温
		double delta = 原解 - 新解;
		if(更优||exp(-(double)delta*RAND_MAX/T) < rand())
        /*
        关于概率接受劣解的判断条件
        exp(-Delta/t)*RAND_MAX<rand() ->> 最大值
        exp(-Delta/t)*RAND_MAX>rand() ->> 最小值
        */
		{
			res = new_res;//接受/一定概率接受
		}
	}
	ans = min(ans,res);//去最值(或其他)
}

最后一点

SA时间复杂度：\(O(-F\times(\log_{delta}T_0/T_{min}))\)

写题经验

• 求一个坐标，使其 \(\dots\) 最大/小

  这样退火：
  double tx=sx+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
  double ty=sy+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
  

• 交换顺序，使其 \(\dots\) 最大/小

  这样退火：
  int x=rand()%n+1;
  int y=rand()%n+1;
  swap(a[x],a[y]);
  

• NOIP2021方差，这个比较特殊（退火能拿满分）。