六大常用恒等式学习

二项式定理推论

定义

\[\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n \]

证明

\[\sum_{i=0}^nC_n^i=\sum_{i=0}^nC_n^i1^{i}1^{n-i}=2^n \]

一阶矩

定义

\[\sum_{i=0}^niC_n^i=n2^{n-1} \]

证明

\[\sum_{i=0}^niC_n^i=\sum_{i=0}^ni\frac{n!}{i!(n-i)!}=\sum_{i=0}^n\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}=\sum_{i=0}^nn\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}=\sum_{i=0}^nnC_{n-1}^{i-1}=n\sum_{i=0}^nC_{n-1}^{i-1}=n\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}=n2^{n-1} \]

二阶矩

定义

\[\sum_{i=0}^ni^2C_n^i=n(n+1)2^{n-2} \]

证明

\[\sum_{i=0}^ni^2C_n^i \]

\[\sum_{i=0}^ni^2\frac{n!}{i!(n-i)!} \]

\[\sum_{i=0}^ni\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \]

\[\sum_{i=0}^nni\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!} \]

\[\sum_{i=0}^nniC_{n-1}^{i-1} \]

\[n\sum_{i=0}^niC_{n-1}^{i-1} \]

\[n\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)C_{n-1}^{i} \]

\[n\sum_{i=0}^{n-1}iC_{n-1}^{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i} \]

\[n(n-1)2^{n-2}+n\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i} \]

\[n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1} \]

\[n(n-1)2^{n-2}+2n2^{n-2} \]

\[(n(n-1)+2n)2^{n-2} \]

\[n(n+1)2^{n-2} \]

曲棍球棒恒等式

\[\sum_{i=k}^{n}C_{i-1}^{k-1}=C_n^k \]

考虑从 \(n\) 个元素中选出 \(k\) 个元素。
设选出的元素中，最大的元素为 \(i\)。
那么：

1. 最大元素 \(i\) 必须选入，有 \(1\) 种选法。
2. 剩下的 \(k-1\) 个元素，必须从前面的 \(i-1\) 个元素中选出，有 \(C_{i-1}^{k-1}\) 种选法。
3. 最大元素 \(i\) 可以取 \(k,k+1,\ldots,n\)。
   由于每种选法都有唯一的最大元素，因此按照最大元素分类，所有选法恰好被划分为互不相交的几类。
   于是：

\[\underbrace{\sum_{i=k}^{n}C_{i-1}^{k-1}}_ {\text{按照最大元素分类计数}} = \underbrace{C_n^k}_{\text{直接计数}} \]

证毕。

范德蒙德恒等式

\[\sum_{i=0}^mC_p^iC_q^{m-i}=C_{p+q}^m \]

我们考虑从两个集合中选择\(m\)个元素.两个集合大小为\(p,q\)

显然,我们直接组合数的公式是$$C_{p+q}^{m}$$

但是,我们也可以枚举在\(p\)中选择\(i\)个,那么在\(q\)中选择\(m-i\)个.就是下面那个公式

\[\sum_{i=0}^mC_p^iC_q^{m-i} \]

然后由于问题本身是一样的,所以有

\[\sum_{i=0}^mC_p^iC_q^{m-i}=C_{p+q}^m \]

吸收恒等式

\[kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1} \]

我们依旧考虑组合意义.

我们从\(n\)个人中,选择\(k\)个人组成一个小组,每个小组有一个首脑. 同样人员组成但是首脑不同的小组认为是不同小组.统计有多少种小组

我们可以先选小组的人,然后在小组的人里选择首脑.那就是以下这个式子.$$kC_n^k$$

同时,我们可以枚举首脑,然后看看每个人为首脑的时候可以构成那些团体,就是以下式子$$nC_{n-1}^{k-1}$$

然后这两个式子是等价的