OI常用公式

等比数列求和

等比数列：首项为 \(a_1\)，公比为 \(q\)，前 \(n\) 项和记为 \(S_n\)。

当 \(q\neq1\) 时：

\[\boxed{S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}} \]

也可以写成：

\[\boxed{S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}} \]

当 \(q=1\) 时：

\[\boxed{S_n=na_1} \]

例如 \(1+2+4+8+\cdots\) 前 10 项，\(a_1=1,q=2\)：

\[S_{10}=\frac{1(2^{10}-1)}{2-1}=1023 \]

坐标法求多边形面积 (鞋带公式)

多边形面积——鞋带公式

对于一个有 \(n\) 个顶点的简单多边形，顶点按照顺时针或逆时针顺序排列：

\[P_i=(x_i,y_i)\quad (1\le i\le n) \]

并规定：

\[P_{n+1}=P_1 \]

则多边形面积为：

\[\boxed{ S=\frac12\left| \sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1}) \right| } \]

坐标要求：

• 顶点坐标可以是任意实数；
• 顶点必须按照多边形边界的顺序排列；
• 通常要求多边形是简单多边形，即边不能互相穿过；
• 如果坐标为整数，OI 中通常计算 \(2S\)，避免浮点误差：

\[\boxed{ 2S=\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1})\right| } \]

若最终要求实际面积，再根据 \(2S\) 的奇偶性处理 \(S\) 是整数还是半整数。