P10430 [JOIST 2024] 鱼 3 / Fish 3 题解

我们可以将一个操作区间分为3个部分。

一个前缀，只使用+1。

一个后缀，只使用+D

一个子区间，同时使用+1和+D.

对于前缀。很显然，这个前缀就是从右端点开始，向左端点的单调不增区间。

我们记录\(t[i]\)为最小的\(t[i]\)满足\(t[i]+k_iD=c_i\)

很显然,\(t[i] \equiv c_i \pmod D\)

我们记录\(t[l,r]\)为最小的\(t\)使得对于任意的\(i \in [l,r] ，c_i-t[l,r] \equiv 0 \pmod D\)

我们考虑怎么求。

一个区间直接求太复杂了，我们考虑两个\(i,j\)怎么求。

即我们要找一个\(t\) 使得 \(t-t[i] \equiv 0{\pmod D}\)，\(t-t[j] \equiv 0{\pmod D}\)

我们发现，只有在\(|t[i]-t[j]| \equiv 0 \pmod D\) 的时候才成立。但是显然，由于我们求的是最小的\(t[i],t[j]\)所以不存在。

那么就要求同时-D和+1操作的区间内\(t[i]\)从右到左单调不增。

那么问题就变成了，我们要确定中间这个区间的位置/长度。

这个显然是可以预处理的。

然后我们要查询总共用了多少次\(-D\)。这个也可以预处理，线段树解决。

但是同时，我们希望\(+D\)操作的次数尽可能小，那么我们就要让中间操作区间的\(t\)尽可能多\(+D\)