主定理(Master公式)

主定理 (Master公式)

定义与应用实例

Master公式，又称为Master定理或主定理，是分析递归算法时间复杂度的一种重要工具，尤其适用于具有具有分治的递归算法递归算法。

其实部分没有分治的递归也可以用, 极少数非递归代码也可以用

\[\operatorname{T}(n) = a*\operatorname{T}(n/b) + \operatorname{O}(n^d) \]

Master公式本身就是递归的形式，是递归方法时间复杂度的一种表示法。

注意\(a,b,d\) 必须是常数

解释

\(\operatorname{T}(n)\) 代表递归方法处理规模为 \(n\) 的数据量的时间复杂度。

\(\operatorname{T}(n/b)\) 代表调用子递归方法的总体时间复杂度，

\(\operatorname{O}(n^d)\) 代表调用子递归方法这行代码外其他代码（下面简称递归外代码）的时间复杂度。

\(a\): 每次递归调用子问题的数量。即在一个递归方法，需要调用几次子递归方法
\(b\): 子问题的规模缩小的比例。例如二分法递归搜索时，每次需要查找的数据都缩小了一半，那么 \(b=2\)
\(d\): 每次递归调用之外的代码时间复杂度的参数。例如二分法递归搜索时，每次递归时除了调用递归的方法，没有什么 for 循环代码，时间复杂度是 \(\operatorname{O}(1)\)，即 \(n^d=1\)，因此 \(d=0\)

使用主定理推到复杂度

主定理本身表示的复杂度难以分析，但是可以根据具体项的关系确定大致的复杂度

当 \(d<log_b^a\) 时，递归时间复杂度为：\(\operatorname{O}(n^{log_ba})\)

当 \(d=log_b^a\) 时，递归时间复杂度为：\(\operatorname{O}(n^d * log_2n)\)

当 \(d>log_b^a\) 时，递归时间复杂度为：\(\operatorname{O}(n^d)\)

对于那些不太正常的公式

例如

\[\operatorname{T}(n) = \operatorname{T}(n-1) + 0.5n \]

我们要这样分析，推式子

\[T(N) = T(1) + ∑{k=2}^{N} 0.5k = 1 + 0.5 × [∑{k=1}^{N} k - 1] = 1 + 0.5 × [N(N+1)/2 - 1] = \frac{N(N+1) + 2}{4}。 \]

参考文献

带你彻底搞懂递归时间复杂度的Master公式