2026年3月24日 文化课数学题

问题简述

现在有一个\(100\)米长的跑道。甲和乙在跑道上往返跑，其中甲的速度为\(5m/s\),乙的速度为\(4m/s\) 问在起跑后\(100s\)内，他们会相遇多少次

Solve

首先 \(t\) 要满足

\[t \in (0,100) \]

从相遇入手

分类讨论

1. 甲乙逆向而行。

发现对于逆向而行相遇，相遇的时间\(t\), 满足

\[4t \bmod 100 + 5t \bmod 100=100 \]

即

\[9t \equiv 0 \pmod{100} \]

同时要保证逆向而行，所以添加方程

\[\lfloor\frac{5t}{100}\rfloor - \lfloor\frac{4t}{100}\rfloor \equiv 1\pmod{2} \]

得到方程组

\[\begin{cases} 9t \equiv 0 \pmod{100} \\[6pt] \left\lfloor \dfrac{5t}{100} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{4t}{100} \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2} \end{cases} \quad t \in (0,100) \]

解得:\(t \in \{\frac{200}{9},\ \frac{400}{9},\ \frac{600}{9},\ \frac{800}{9}\}\)

2. 甲乙通向而行，追击问题
   发现对于通向而行相遇，相遇的时间\(t\)，满足

\[4t \equiv 5t \pmod{100} \]

同时

\[\lfloor\frac{5t}{100}\rfloor - \lfloor\frac{4t}{100}\rfloor \equiv 0\pmod{2} \]

我们获得同余方程组

\[\begin{cases} \left\lfloor \dfrac{5t}{100} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{4t}{100} \right\rfloor \equiv 0 \pmod{2} \\[10pt] 4t \equiv 5t \pmod{100} \end{cases} \quad t \in (0,100) \]

解得：无解