洛谷 P8557 炼金术（Alchemy）

题目描述

铃是一个爱玩游戏的女孩子。

她在游戏中想要炼制一种稀有合金 —— 这需要 \(n\) 种金属来合成。

她准备好矿石后建造了 \(k\) 个不同的熔炉，当熔炉启动时，会随机炼出这 \(n\) 种金属中的一些（也可能什么都没有）。

如果把每个熔炉炼出的金属收集起来，有了全部 \(n\) 种金属，就能造出合金了。澪对此很好奇，对铃说：「我考考你，有多少种情况可以炼出合金呢？」这个简单的问题铃很快就会做了，你能求出结果吗？

Slove

从炉子入手，每个炉子都有产出某个矿石的可能，所以每个炉子每次可能的成产结果为 \(2^n\), 但是不方便去除无法冶炼合金的方案

从金属入手，每种金属都可能由每个炉子产出，所以对于某个金属，所有炉子对于产出这个金属的可能性为 \(2^k\)， 但是其中包含了一种所有炉子都不产出这种金属的可能。 所以合法方案为 \(2^k - 1\)， n中金属的总合法方案数就是 \((2^k - 1)^n\)