最大流Edmonds-karp

　　给出一个流网络G（V,E），入度为0是源点，出度为0是终点，网络中每条边有一个最大流量，要求算出能流入终点最大值，这就是网络流最大流的基本模型。流只是经过网络中的每个点，不会驻留，网络中的流总量是守恒的，例如基尔霍夫电流定律（流守恒的概念很重要）。流网络中还有正向边和反向边这两个概念，正向边即原有的边，反向边则是根据流守恒假想出来的与正向边相反的边。

　　解决这一问题的Ford-Fulkerson method 基于三个重要思想：残留网络，增广路，割。下面对于这三个概念作一下简单介绍。

　　残留网络：设网络中一个流f最大承载量为c（u，v），当前承载量为f（u，v），那么残留网络中对应f残留容量cf（u，v）=c（u，v）-f（u，v）。残留网络就是将原有的流网络中的每个流最大承载量换成残留容量，即Gf=（V，Ef），Ef={（u，v）属于G，cf（u，v）}。

　　增广路：增广路p为在残留网络中一条从原点s流至终点t的一条简单路。该增广路的容量cf（u，v）=min{c（u，v），（u，v）在p上}。

　　流网络的割：一个流网络的割（S,T）讲G分为不相交的两部分，其中源点s属于S，终点t属于T，割的净流被定义为将两部分相连所有边之和（包括反向边），记为f（S，T），而割的容量不包括反向边，记为c（S，T）。

      以上三个思想的给出解决了最大流最小割定理的证明（《算法导论》）。

　　最大流最小割定理：对于G中任意一流f，下列条件等价：

　　1）f是G的一个最大流。

　　2）残留网络中不包含增广路。

　　3）G中某个割（S,T），|f|=c（S，T）。

　　由此得出了Ford-Fulkerson method 的做法，就是对于流网络G，初始化一个零流f，然后通过不断迭代找增广路，直至不存在增广路，此时f为最大流。而该方法关键在于如何找增广路，DFS显然不可行，基于BFS的算法叫做Edmonds-Karp算法。

　　EK算法给出了一个时间复杂度为O（VE^2）的做法：

　　EK（G , s ，t）

　　1　for each edge（u，v）属于E[G]

　　2　　　do f[u,v] = 0;

　　3　　　　 f[v,u]=0;

　　4　while BFS能找到一条最短增广路p

　　5　　　  do cf（p）=min{cf（u，v），（u，v）属于p}

　　6　　　 for each edge（u，v）属于p

　　7　　　　      do f[u,v]=f[u,v]+cf(p)

　　8　　　　　　　  f[v,u]=-f[u,v];

      下面是POJ1273，注意输入的流可以叠加：

 1 #include<iostream>
 2 #include<queue>
 3 #include<cstring>
 4 #define N 205
 5 #define MAX 0xffffff
 6 usingnamespace std;
 7 
 8 int n,m,G[N][N],f[N][N],cf[N],pre[N];
 9 queue <int> Q;
10 
11 int BFS()
12 {
13 int u,v;
14     memset(pre,-1,sizeof(pre));
15     memset(cf,0,sizeof(cf));
16     cf[1]=MAX;
17     Q.push(1);
18 while(!Q.empty())
19     {
20         u=Q.front();
21         Q.pop();
22 for(v=2;v<=n;v++)
23         {
24 if(pre[v]==-1&&G[u][v]>f[u][v])
25             {
26                 cf[v]=(cf[u]>(G[u][v]-f[u][v]))?(G[u][v]-f[u][v]):cf[u];
27                 pre[v]=u;
28                 Q.push(v);
29             }
30         }
31     }
32 return cf[n];
33 }
34 
35 int edmonds_karp()
36 {
37 int v,ans=0;
38     memset(f,0,sizeof(f));
39 while(1)
40     {
41 int tmp;
42         tmp=BFS();
43 if(tmp==0) break;
44         ans+=tmp;
45 for(v=n;v!=1;v=pre[v])
46         {
47             f[pre[v]][v]+=tmp;
48             f[v][pre[v]]=-f[pre[v]][v];
49         }
50     }
51 return ans;
52 }
53 
54 int main()
55 {
56 while(cin>>m>>n)
57     {
58         memset(G,0,sizeof(f));
59 int i,j,tmp;
60 while(m--)
61         {
62             cin>>i>>j>>tmp;
63             G[i][j]+=tmp;
64         }
65         cout<<edmonds_karp()<<endl;
66     }
67 }

     

posted @ 2011-07-22 19:55  acer01  阅读(490)  评论(0)    收藏  举报