仿射空间
仿射空间：设\(L\)是\(V\)d的一个子空间，\(x\)是\(V\)中一个向量，记
\[M = x+L=\{x+l:l\in L\}
\]
称\(M\)为仿射空间，也就是把过原点的子空间按照向量\(x\)平移得到，这样就包含了空间所有的点、线、面，也叫做平移子空间。仿射空间可以看作子空间\(x+l\)一一映射得到的。仿射空间没有零元素。
例：给定矩阵\(A^{m\times n}(m<n), 和向量b^m\)，则满足
\[M = \{x\in R^n:Ax=b\}$$的解集是仿射空间（非齐次方程的解等于特解+对应其次方程的通解；通解是线性子空间，而特解相当于平移向量）。
几何上，把线性子空间称为**偏置子空间**，类似于近世代数中**陪集**的概念，泛函分析中称为**仿射流形**，凸分析中称之为**仿射空间**。
**定理一**：$M$是仿射空间当且仅当对$\forall x,y\in M$和$\lambda\in R$有
$$(1-\lambda)x+\lambda y \in M$$要求系数之和为1，是为了保证平移向量不变。
**定理二**：假设L是向量空间的子空间，对于空间中任意两个向量$x,y$，下面几个命题等价：
(1) x+L = y+L
(2)$y\in x+L$
(3) $-x+y \in L$
**定理三**：如果x+L=y+L'，则L=L'
这说明虽然平移线性空间的向量可以是不同的，但被平移的子空间是唯一的。
**仿射空间的交**：仿射空间族的交集是一个仿射空间或者是空集（当两个仿射空间是平行的时候）。
**仿射空间的和**：包含仿射空间$S_i$的最小集合。和满足交换律和结合律。
两条直线的和是两条直线确定的平面，两条异面直线的和是三位空间，在三维空间研究中，用**连接**表示**和**，如两点的连接是直线，一条直线与不共线点连接得到平面。
**仿射空间的维数**：为子空间$L$的维数，即dim(x+L)=dim(L)
任何仿射空间的交也是仿射空间，因此对任意集合$S\subseteq R^n$，存在唯一一个包含S的最小仿射空间，即所有满足$M\supseteq S$的仿射空间的交，这个集合也称为S的**仿射包**。记为aff S.
可以证明$\text{aff}\{S\}=\{\lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m:\lambda_1+...+\lambda_m=1,x_i\in S_i\}$
对于m+1个仿射独立的向量x0,x1,...,xm,他们组成了仿射空间aff{x0,x1,...,xm}的仿射坐标系，其中原点是x0，坐标向量分别是x1-x0,...,xm-x0,这个坐标系不再是直角坐标系，坐标原点可以任意选其中一个，其余的作为坐标向量。确定m维子空间需要m个向量，而确定m维仿射空间需要m+1个向量，其中一个确定仿射空间所在位置，而其他m个向量确定空间结构，表示为
$$x = \lambda_1 (x_1-x_0)+...+\lambda_m(x_m-x_0)+x_0,\sum\lambda_i = 1$$当$\lambda_i\geq 0$时，称之为x的重心坐标。
**引理1**：$(x+U)\cup (y+T)=x+span\{(-x+y)\}+S+T$
证明：$(x+S)\cup (y+T)$是包含x和y的仿射空间，因此，存在某个子空间L，使它的形式是x+L=y+L，且L当然包含span{-x+y}，同时，也包含S和T。因此x+S, y+T的和是包含他们的最小仿射看空间，因此有L=span{-x+y}+S+T
**引理2**$(x+S)\cup(y+T)$不是空集当且仅当$-x+y\in S+T$
证明：因为x+s=y+t，当且仅当-x+y=s-t
**定理5**：设M，N是V中两个仿射空间，S和T分别是对应的子空间，则$M\cap N=\emptyset$的充分必要条件是$$\text{dim}(M\cup N)=\text{dim}(S+T)+1$$是空集分两种，一种是不共面，另一种是平行，不共面的两仿射空间求并，导致维数增加；平行的直观图像为：两个子空间为相同，但是平移向量不同，得到的两个仿射空间并相当于两条平行线确定一个平面，比原来的子空间维数大1。
**定理6**：假设M和N是向量空间V中的仿射空间：
如果$M\subset N$，则dimM$\leq$dimN，当且仅当M=N时dimM = dimN。
如果$M\cap N$不是空集，则$$dim(M\cup N)+dim(M\cap N)=dimM+dimN$$**二维空间的关联性质**：
两个不同点的连接是一条直线
两个不平行直线的交是一点
**三维空间的关联性质**
两个不同点的连线是一条直线
两个不平行平面的交是一条直线
两条相交于一点的直线的和是一个平面
两条共面且不平行的直线交是一点
两条不同平行直线的和是一个平面
一条直线和不在它上的一点连接是一个平面
一个平面和不与它共面的直线的交是一个点\]
