阿氏圆

阿氏圆

定义

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点 \(A\)、\(B\)，则所有满足 \(PA/PB=k\) 且 \(k\ne 1\) 的点 \(P\) 的轨迹是一个以定比 \(m:n\) 内分和外分定线段 \(AB\) 的两个分点的连线为直径的圆。

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆。

证明

假定在线段 \(AB\) 上有一点 \(C\)，且 \(\displaystyle\frac{AC}{BC}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)，在线段 \(AB\) 反向延长线上有一点 \(D\)，且 \(\displaystyle\frac{AD}{BD}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)。

不妨设 \(AC=x\)，\(BC=\lambda x\)，显然有 \(AD=\displaystyle\frac{1+\lambda}{\lambda-1}x\)。

令 \(CD\) 中点为 \(O\)，以 \(O\) 为圆心，\(CD\) 为直径作 \(\odot O\)，其中半径为 \(r\)。

不难发现 \(r=\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda-1}x\)、\(AO=\displaystyle\frac{1}{\lambda-1}x\)、\(OB=\displaystyle\frac{\lambda^2}{\lambda-1}x\)。

在圆上任取一点 \(E\)，连接 \(OE\)、\(AE\)、\(BE\)。

不难发现 \(\displaystyle\frac{AO}{OE}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\lambda-1}x}{\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda-1}x}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)、\(\displaystyle\frac{OE}{OB}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\lambda}{\lambda-1}x}{\displaystyle\frac{\lambda^2}{\lambda-1}x}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)，\(\therefore\displaystyle\frac{AO}{OE}=\displaystyle\frac{OE}{OB}\)。

又 \(\angle AOE=\angle EOB\)，\(\therefore\triangle OAE\sim\triangle OEB\)，\(\therefore\displaystyle\frac{AE}{BE}=\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)。

证毕。

应用

令 \(B\) 为坐标原点，\(A\) 的坐标为 \((a,0)\)，则动点 \(P(x,y)\) 满足 \(\displaystyle\frac{|PA|}{|PB|}=k(k>0,k\ne 1)\)。

且 \(|PA|=\sqrt{(x-a)^2+y^2}\)、\(|PB|=\sqrt{x^2+y^2}\)。

整理得 \((k^2-1)x^2+(k^2-1)y^2+2ax-a^2=0\)。

即 \(\bigg(x+\displaystyle\frac{a}{k^2-1}\bigg)^2+y^2=\bigg(\displaystyle\frac{ak}{k^2-1}\bigg)^2\)。

当 \(k>0\) 且 \(k\ne 1\) 时，动点 \(P\) 的轨迹是圆。

当 \(k=1\) 时，动点 \(P\) 的轨迹是 \(AB\) 两点连线的中垂线。

例题

在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，已知点 \(A(3,0)\)，动点 \(P(x,y)\) 满足 \(\displaystyle\frac{|PA|}{|PO|}=2\)，则动点 \(P\) 的轨迹与圆 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) 的位置关系是 ___。

解：

\(\because\displaystyle\frac{|PA|}{|PO|}=2\)，\(\therefore |PA|=2|PO|\)，\(\therefore\sqrt{(x-3)^2+y^2}=2\sqrt{x^2=y^2}\)。

整理得 \((x+1)^2+y^2=4\)，表示圆心为 \((-1,0)\)，半径 \(R=2\) 的圆。

圆 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) 的圆心为 \((1,1)\)，半径 \(r=1\)。

两圆圆心距 \(\sqrt{(-1-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}\)。

显然有 \(2-1<\sqrt{5}<2+1\)，所以两个圆相交。