泰勒公式

泰勒公式

引入

高考导数与函数和不等式密切相关，通过泰勒公式我们可以用多项式估计某点附近的值。所以利用泰勒公式，可以在不等式和导数题起到很大的作用。在高考中泰勒公式主要起到两点作用，一是估算，而是通过泰勒公式可以快速估算参数的取值范围。得到取值范围后，你大致可以猜到出题者的思路，对为后续的计算和推导起到很好的作用。

一般形式

泰勒公式是将一个在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数的函数利用关于 \((x-x_0)\) 的 \(n\) 词多项式来逼近函数的方法。

若函数 \(f(x)\) 在包含 \(x_0\) 的某个闭区间 \([a,b]\) 上具有 \(n\) 阶导数，且在开区间 \((a,b)\) 上具有 \((n+1)\) 阶导数，则对于闭区间上任意一点 \(x\) 有：

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\displaystyle\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\displaystyle\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]

其中 \(f^{(n)}(x_0)\) 表示 \(f(x)\) 在 \((x-x_0)\) 处的 \(n\) 阶导数，等号后面的多项式称为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的泰勒展开式，剩余的 \(R_{(n)}(x)\) 是泰勒公式的余项，是 \((x-x_0)^n\) 的高阶无穷小。

麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式。

\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\displaystyle\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x) \]

一些常用展开式

下面是常用的展开式，一般用前面的两到三项:

\[e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}x^{n}+\cdots \]

\[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}+\cdots \]

\[(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\prod_{m=\alpha}^{\alpha-n+1}m}{n!}x^{n}+\cdots \]

\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\cdots+\frac{(-1)^\frac{n}{2}\frac{(2n-3)!!}{2^n}}{n!}x^n+\cdots \]

\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots \]

\[\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots \]

\[\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots \]

\[\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+\cdots \]

\[\tan x=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\cdots+\frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}+\cdots \]

\[\cot x=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}+\cdots \]

\[\sec x=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\cdots+\frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \]

\[\csc x=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}x^{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}x^{2x-1}+\cdots \]

选择题和填空题里的不等式，有些题考到对函数的估算，一般的放缩未必可以解决(本质上是泰勒公式的前几项)，构造函数求导，计算量也较大，作为选择题和填空题，花费的时间太多，用泰勒公式是最实际的，

一些例题

[2022 \(\cdot\) 新高考 Ⅰ 卷 7] 设 \(a=0.1e^{0.1},b=\displaystyle\frac{1}{9},c=-\ln0.9\)，则：
\(A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b\)

解:由泰勒公式可得

\[a=0.1e^{0.1}>0.1(1+0.1+0.005)=0.1105 a=0.1e^{0.1}<0.1(1+0.1+0.01)=0.111 c=-\ln0.9=\ln(1+\displaystyle\frac{1}{9})<\displaystyle\frac{1}{9}-\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{1}{9})^2}{2}+\frac{(\displaystyle\frac{1}{9})^3}{6}<0.1052 \]

很显然 \(c<a<b\)
\(\therefore\) 选 C.

[2022 全国高考甲卷 12] 已知 \(a=\displaystyle\frac{31}{32},b=\cos\displaystyle\frac{1}{4},c=4\sin\displaystyle\frac{1}{4}\)，则：
\(A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b\)

解:由泰勒公式可得

\[c=4\sin\frac{1}{4}>4(\frac{1}{4}-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^3}{6})=1-\frac{1}{96}=\frac{95}{96} b=\cos\frac{1}{4}>1-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^2}{2}=\frac{31}{32} b=\cos\frac{1}{4}<1-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^2}{2}+\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^4}{24}<\frac{94}{96} \]

很显然 \(c>b>a\)
\(\therefore\) 选 A.