学习笔记：Min-Max 容斥

Min-Max 容斥

Min-Max 容斥是一种用于 Min/Max 互相转换的小技巧，通常在与 Min/Max 有关的计数问题中被广泛是使用。

能用 Min-Max 容斥解决的问题一般数据范围相对较小。

设全集为 $U=\left\{a_1, a_2, a_3, ……, a_n\right\}$，则令：$$ \max(s) = \max_{a_i \in U}a_i \\ \min(s) = \min_{a_i \in U}a_i $$ 假设这样一种情况：在某一道签到毒瘤题中我们可以很轻松地求出 $min(s)$，却不会或者很难求出 $max(s)$。这个时候 Min-Max 容斥就可以提供一种非常巧妙的方式将 $min(s)$ 转换为 $max(s)$（反过来也是可以的）。

先把结论贴出来：$$ \max(s)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) $$ 那么，如何证明这个结论的合理性呢？

首先假设 $U$ 内元素各不相同，不影响结论正确性。

不妨对 $U$ 降序排列，令 $A_k$ 为此时 $U$ 中的第 $k$ 个元素。

令 $\min(T)=A_k$，考虑进行分类讨论：

1. 当 $k=1$ 时，此时 $\min(T)=\max(T)$，易知贡献为 $(-1)^{1+1}\min(T)=\max(T)$。
2. 当 $k>1$ 时，此时 $T$ 只能包含 $A_i,i \in [1, k]$ 中的元素。同时 $A_k$ 已经钦定其在 $T$ 中。剩余的元素有 $2^{k-1}$ 种选法。其中 $|T|$ 为奇数和偶数的情况各占一半，贡献互相抵消。

综上所述，原式成立。

当然这个结论显然是对称的，即：$$ \max(s)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \\ \min(s)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T) \\ $$ 其在期望意义下的结论为：$$ E(\max(s))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T)) \\ E(\min(s))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\max(T)) \\ $$